Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 25

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 88 >> Следующая

от сс на постоянный угол, т. е.
Ф = а+ ф± -5-. (9)
Итак, переобозначая постоянный множитель в (7) и используя (9), найдем,
что точка движется по логарифмической спирали
1.19. Пусть точка 1 движется от -с" до +оо вдоль оси Ох. При этом
скорость точки 2 меняет свое направление на противоположное, так что в
некоторый момент времени (^=0) скорость v2 оказывается перпендикулярной
оси Ох. Координаты точки 2 в этот момент можно положить равными х=0;
у~уо.
76
Кинематика и уравнений движения точки
(Гл 1
Координата х точки 2 и координата *i точки 1 связаны условием
dx , , dx
X = У - = vjt + у
dy dy
Дифференцируя обе части этого равенства по времени, получим
¦ ( dx . d?x\
* = ", + !Ч1Г *¦)¦
Так как скорость v2 постоянна, то производные х и у можно исключить из
предыдущего выражения с помощью формул
dx \*
dy ) " &2'
ir-'V '*
ds _ dy ¦ dt dx
(здесь перед радикалом взят знак минус, поскольку с возрастанием длины
дуги ордината у убывает), В результате найдем, что
?х_
1 __ v2 dyа___________
у Vl 1 А 4. ( dx
V + \~zii
Умножая обе части этого уравнения на dy и интегрируя по у в пределах от
уо до у, а по dxjdy в пределах от нуля до dxfdy, получим
it
т. е.
(Injr-lny,) = lnJ-ji-+ j/"l +
Vl
+v
у \Vt dx , 1 / J _J_ ( dx V
Уо I dy V \ dy
Отсюда находим
Hi. _ Hi
L (JL\ .
dy 2 \ #e / 2 \ #o )
Интегрируя это уравнение с учетом начального положения точки 2,
найдем ее траекторию при v^v?.
Кинематика точки
77
л:
И при vl - v.,:
Точка 2 "догонит" дочку 1, если ее скорость v2 > vt. Это произойдет в
точке осп Ох
1.20. Выберем ось Ох декартовых координат вдоль траектории точки 5 Если ф
- угол наклона скорости точки К к оси Ох, а х, у - ее координаты, то
где а - постоянное расстояние между К и S. Интегрируя дифференциальное
уравнение
(постоянная интегрирования, определяющая положение траектории
относительно оси координат, выбрана равной нулю). Полученная кривая
называется трактрисой.
Поскольку от нуля отлична лишь нормальная составляющая ускорения точки К,
находим, что
sin ф
находим параметрическое уравнение траектории точки К:
(1)
у - flSln ф
(2)
78
Кинематика и уравнения движения точки
{Гл 1
Интегрируя это уравнение, получим
sin <р = ехр | - (* - /0)|. (3)
Отсюда
ехр (*" *о)
Ф = ^^в________________У а > . (4)
1f 1 - ехр -<0)]
Формулы (1), (2), (3) определяют закон движения точки К. Закон движения
точки 5 также определяется этими формулами, поскольку между координатами
обеих точек имеется связь.
xs = х-Ь аоозф; #s=s=0.
Отличная от нуля нормальная составляющая ускорения точки К
равна
И2 2 d<p
(r)я = -= So~ =s0(p. R as
Подставляя сюда q> из (4), находим ускорение, как функцию времени
§ 2. Уравнения движения материальной точки
1 26. Представляя уравнение движения в виде
х - 6 sin - = О, а
умножим обе его части на х и проинтегрируем полученное выра жение Тогда с
учетом начальных условий получим
- Ь cos - = ka,
2 а
т. е
х=2 Vka sin - .

Отсюда находим
Г - =2]/7й* + С; tg JL. = y
Ix 4а
| sin -- t) 2а
Уравнения движения точки
79
1.27. Решением уравнения движения тх = ab(t -10) является функция
t
f &(t-t0)dt = -0(< - <в),
т J т
¦-оо
где разрывная функция Хевисайда
0W-| 0> *<0;
I 1, х>0.
Эту функцию можно записать в виде 0 (х) - ^1 + -¦ j.
1 28 Выберем ось г перпендикулярно проводящей плоскости На заряд
действует сила электростатического притяжения, равная -e2!(2z)2 Поэтому
л2
m2 -----------. (1)
4г2 v '
Умножая обе части (I) на 2 и интегрируя, получим
тг2 е2 е2
2 4г 4h'
Отсюда найдем время падения Т\
Т
/2ш f1 dz л h ¦г Г mk
/_1_______1_у/2 ~ е V-
V * h }
е J I \l/2 ~ е Y 2
h
1.29. Сначала найдем закон движения снаряда:
x(t) = y^cosa; y(t) - h~\- i>0fsina~
Он позволяет определить время полета ^ и дальность L, так как в момент
падения y(ti)= 0; L=x(ti), т е.
80 s______________Кинематика и уравнения движения
точки___________(Гл 1
Вычисляя производную dLjda и приравнивая ее нулю, получим
1
sin а*
Y2i'+-1)
1.30. Если ось z направить по нормали к плоскости, то уравнение шарика
можно представить в виде
z'+-z4g = О,
т
где знак "минус" соответствует движению вниз. Интегрируя это уравнение,
получим
± -г
z2 =F g = Се
т
Выразим постоянную интегрирования С через начальные значения координаты и
скорости шарика. Тогда вместо последней формулы будем иметь
-- (г-
;Лт-гал, " . О
^ J
Полагая в этой формуле z0=0; z0=/i; z=0 (для движения вниз), найдем
квадрат скорости перед падением:
*2 mg ,. т v
zi = ~-(1- е ),
к
а следовательно, и начальную скорость шарика при его движении вверх.
* 2 * 2 *
Полагая в (1) z0 = 0; ze = Zb z = 0 (для движения вверх), найдем высоту
z2 подъема шарика:
л
г,.-?-1п(2-" (tm) ).
1.31. Уравнение движения имеет вид
mt - mg~kw. (1)
Направим ось z по вертикали вверх. Тогда из (1) и
начальных
условий следует, что х-у-0, а движение подчинено уравнению
па = - mg+ kz2. (2)
Уравнения движения точки
81
Вводя обозначения z=v, u2-mg/k, представим (2) в форме
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed