Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
э2 + /?3 -а4
1.7, Из постоянства секторной скорости относительно системы координат с
началом в точке А следует
~^р2Ф-о0. (1)
Записывая уравнение окружности в полярных координатах
р = 2R cos ф, (2)
из (1), (2) находим
2^2соэ3ф-ф = сг0. (3)
Интегрируя (3), получим
Ф + sin 2ф = 1.
Это соотношение в неявном виде определяет зависимость ф(0-
1.8. Запишем скорость в виде
v = (р, рф) = (akekv ф, ае*фф).
Из условия постоянства секторной скорости следует уравнение
1 a42kV _
70
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл. 1
Его решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, является
функция
e*==(_L+lV'!; (2)
V t0 j ш0
Из (1), (2) находим
Ф '
2 k{t + ta) '
Итак,
(- - (к, 1)(
t + tо I V k(t + t") J I \ + ^
V =
(То \ 1/2
1.9. По условию задачи
-i-р2 ф = <Т0; (1)
ра + Р*Фа = -~-. (2)
Ра
Постоянные о0 и а находятся из начальных условий
°о - -~Po"oSItia'. а - Povo>
где а - угол между скоростью и радиусом-вектором в начальный момент
времени. Исключая ф из (1) и (2), получим уравнение
>+(т ИтГ-
Его решение
Р2 = Ро + 2 (аа - 4оо)!/2 ^ (3)
Далее, из (2) и (3) следует
2а0
Ф
Ро + 2 ("2 - 4ctq ) l/2t
о0 , Ро~Ь (ч . //|ч
ф =----------!"717Г1п---------------------+(Ро< <4)
(Яг -4о|)'/2 Р"
Исключая время из (3) и (4), найдем траекторию
Кинематика точки
71
В данном случае ускорение имеет только составляющую по орту пр, которая
определяется формулой Бине:
4 о"
Wp -
+
г
Следовательно,
wp =
1.10. Выберем в качестве оси Ох прямую, проходящую через центры F1 и F2
(рис. 1.10). За начало координат возьмем середину отрезка F\F2¦ Тогда по
условию задачи
У
1 \ ,1^/ а 1
VL-X X. F2J *
или
Рис. 1.10
У(х + а)* + у2 V(x - af-\-y2 = а2,
(х2 + г/2)2 - 2а2 (х2- у2).
Следовательно, траектория точки представляет собой лемнискату Бернулли. В
полярных координатах ее уравнение имеет вид
р2 = 2а2 cos 2ф.
(1)
Из условия постоянства проекции секторной скорости аг = Оо имеем
Ф = 2а0/р2. (2)
Для проекции ускорения на радиальное направление согласно формуле Бине и
уравнению траектории (1) имеем
wp =
48 ад а4
1.11. Согласно условию
2
wn,
рЧ
fe о
тр
да
= cos 45°.
(1)
(2)
Из (1) следует, что а из (2) находим wp = wv. Следовательно,
р - 2k р - k2 р = 0.
Решение этого уравнения ищем в виде р - CeXt. Получим
72
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл. 1
Я*_2Л? - ?2-0; Я,,2 = А(1±1/'2);
р - е** (Л sh & J/2 *-<-Bch&)/2 0-Используя начальные условия, найдем
Ро
k /2
Таким образом, получаем закон движения
р _ sh & j/2 f; ф
и уравнение траектории
Ро
1.12. л2 У
evsh]/2 ф.
30о\2 = /3^\2 яш/ \ ям/
Рис. 1.13
1.13. Выберем начало координат в точке А, а полярную ось направим по
прямой, соединяющей центр неподвижной окружности О и точку А. Как
нетрудно видеть из рис. 1.13, <p=d)t. Определяя расстояние между
материальной точкой А' и точкой А, получим уравнение траектории
материальной точки: р = 2а(1 - соэф).
Эта кривая называется кардиоидой. Приведенные формулы позволяют вычислить
компоненты ускорения материальной точки:
wp = 2oi2(a - р);
1(r)ч
1щ
W9 - 4П(02
ф I"
/¦
0< ф< л, я < ф < 2л,
?L fl Р_
а \ 4 а
1.14. Траекторией точки является гипоциклоида
1- т
х = R (1 - т) cos ф + mR cos
¦Ф
Кинематика точки
73
где т = a/R. Точка будет двигаться по отрезку прямой, если R = 2а.
1.15. Очевидно, что
ve О
ctg а -----------------=-------------------------------------------------
---------- (1)
sine ф sin 9 d<p
Интегрируя (1), находим
т. е.
lntg- = q>ctga + lnC,
tg- = Ce"f>cte". (2)
2
Кривая (2) называется локсодромией.
1.16. По определению имеем
s2
V = S Пт, w =snT+ -?-П,
где s - длина дуги траектории; nT, п - соответственно касательный и
нормальный к траектории орты; R - радиус кривизны. Поскольку s = = 2Ra>t,
то
v = 2i?(onT; - 0; wn = 4i?(c)2.
1.17. Учитывая, что х - 0, получим
у = 2кхг = a
и, следовательно,
; у = 2kxх ~at\
2k
S = О = (> + y2)1/2 = 1/ 0 + 2Ш2)1/2.
f 2&
Затем находим радиус кривизны
R = - - = -1- (1 -f 2katyv.
xy - xy
Итак,
2kas \ 1/2
Wx = S = t
а"" =
л (1 + 2M2)1/2
74
Кинематика и уравнения движения точки
{Гл 1
(О
(2)
s2 = so + 2а (s - s0).
Подставляя эту функцию в уравнение (2) и учитывая определение радиуса
кривизны
(здесь а - угол между касательной к траектории и положительным
направлением оси а), находим
-- = - [so + 2а (s - s0)}.
da b
Интегрируя это уравнение, получим
2 а
.<•. -- а
2а (s- s0) +s| = Ае ь ,
где постоянная интегрирования A = sle
. Так как
Кинематика точки
75
В обеих квадратурах постоянные интегрирования приравнены нулю (тем самым
в плоскости движения выбрана определенная система декартовых координат).
Теперь положим
. . 2а
tg^= -. ь
Тогда (3) и (4) можно записав в виде
2 а
-т-(а-а о)
S б
х = . . - °--........- sin (а -f ф); (5)
2а \2 ,
+1
2а
sie0
У
Из (5), (6) следует, что
у - cos (а + т|>). (6)
in - ("-"о)
Р =---------------------- - - - е ; (7)
У
2а \2
т) +'
tg Ф - - - -ctg (а + ф). (8)
х
Таким образом, в выбранной системе координат полярный угол q> отличается
