Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 29

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 88 >> Следующая

получим
2vn и
l = 2hu-' 0
g 1 + й*
Затем, вычисляя dl/du = 0, найдем, что /тах достигается при
,_____________________ ч?
etg а = k - 1 + К^2 - А --------------------------•
2gA
Сохранение импульса, момента и энергии точки
97
При 0, k=oo, ctg2a=l. При А>4, т. е. npHU§>8gft, имеются две
экстремальные точки.
Значения углов а, при которых материальная точка достигнет заданной
дальности определяются уравнением
2м8- -^и3 + 2и(1 +2*:)- = О-
h h
Из этого уравнения следует, что существуют три значения угла а, при
которых / = /[.
Рассмотренная задача является механической аналогией задачи о траектории
луча в ионосфере в том случае, когда зависимость концентрации электронов
имеет вид л (г)'-(г-h) 0(2-h).
2.7. Пусть у=0 - плоскость катода, а y=d - плоскость анода. Магнитное
поле направим вдоль оси г Используя закон сохранения энергии (заряд
электрона е = -ео<0)
f (*?+!?+z2)-Jf~y = О
и интегралы уравнений х = - (оу; z = О, (<а = , т. е. интегралы
V тс j
движения
х = - <лу; г = О,
находим
-f-(co2y2-f у*)-&-у = 0.
По условию y(y = d) - О, следовательно,
- оizd2 = e0U.
2 0
Отсюда заключаем, что ток в магнетроне отсутствует, если
Я>Ях-= -Lf-^LY'2,
d \ е0 }
2.8. Воспользуемся законом сохранения энергии
хг + у* - <аа a2 (1)
и интегралом уравнения
х = (й у cos у/а,
т. е.
х- и a sin у/а. (2)
4 Зак 4
98
Законы изменения импульса, момента и энергии
(Гл. 2
Из (1) и (2) получим
у% - со2 a2 cos(r) у/а. (3)
Далее из (3) находим, что
<о/= f = In т/
J a cos у/а Г 1 -
sin у[а
(4)
¦ sin у/а
о
sin у/а = th оо /.
Наконец, из (2) и (4) получим
х = <aaih(at, х = alnchat.
2.9. Запишем уравнение движения
тг = - е0Е - [vH]
С
в декартовых координатах:
х-соол: + й У - 0; (1)
у - "оУ - О х - 0; (2)
г = 0, (3)
где cog - e0U0/mR2; ?2 = е0Н0/тс.
Из (3) находим г (t)^-Q, а из (1) и (2), вводя комплексную
координату ? = ж + Ц/, с учетом начальных условий
получим
| __ ш| = 0; i (0) = ое'"; | (0) = 0.
Решение последнего уравнения будем искать в виде ? = Сё(r)*. Следовательно,
со(r) -j- cog - coQ = 0; т. е.
Таким образом,
I = Суё^ + C2eiM^.
Отсюда, используя начальные условия, найдем
Сг = аё"; Са = ---аё".
% - C0t (c)!-<0"
Итак,
| = ----------(- и gfeiit ос"!е*(r)**);
55 й)|_ - Ш* ' * 1 п
Сохранение импульса, момента и энергии точки
99
х = Re | - --- |- о)а cos ((V + а) + % cos {щ1 -j- а)];
0>1 - зд
у = Img =---------------[-% sin (%! + а) + to* sin (<aa? + а)].
% - %
2.10. Запишем уравнения движения электрона в декартовых координатах:
тх = - -уН0 + ~^~х> с аа
ту = - xHQ\ (1)
С
тг =-^2. da
Перепишем эти уравнения, вводя обозначения для частот ю0 = ejijmc; й52 =
2 e0U0/nuP:
х + со0у"- QsX = 0; (2)
у - <*vt = 0; (3)
г -j- Й\г = 0. (4)
Из (4) сразу следует, что
z - г0 cos Й81 + sin Qs t. (5)
Затем, интегрируя (3), получим
у-coo* = -С, (6)
а из (2) и (6) найдем
х+йах = <о0С (й2 = соо - й^).
Подставляя решение этого уравнения
"пГ +asln + а) (7)
?2а
в (6) и полагая С = v± -получим
y^b + vj - -?5*. COS (Й* 4-а) (8)
О
(здесь b, vt, а, а - произвольные постоянные).
4*
100
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл 2
Далее, используя начальные условия, найдем, что скорость дрейфа электрона
вдоль оси у равна
i>! =(х0со0 -t/о)
и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Кроме
того, получим выражения, определяющие амплитуду и фазу:
- '4 ,
Йа ю0а '
cosa - sin"= J/0-~ .
a Q cuofl
Из (7) и (8) следует, что проекция траектории на плоскость ху образует
эллипс, перемещающийся в направлении оси у ео скоростью Vi
J*
(у - Ъ - v^ty - a\
2,11. Запишем уравнения движения заряда в декартовых координатах
'1)
X
у = <о
chaa#
где со = e^JJmc. Из (1) находим, что
Pxa (r)-thap, (2)
где Рх0/т~ постоянная интегрирования.
Используя закон сохранения кинетической энергии и (2), получим
m (х2 + у2)~та- щ2() ¦
m
2
f = Г, - (/," - -Д- th>) '• (3)
Теперь предположим, что Рх0 < 0. Тогда из анализа зависимости Ue.u {У)
следует, что движение частицы невозможно, если
~ I ( 1 D I 1 тш \а
Сохранение импульса, момента и энергии точки
10!
При
электрон отразится назад, а при
l2
электрон пройдет сквозь магнитную стенку. Последнее условие можно
записать в форме
yl > 4юг/а2,
поскольку РХо = - та)/а, Т0 = туо/2.
Из (3) найдем закон движения вдоль оси у\ (4)
у
f
t - i ______________-______
¦ (1 + th ayf
Уравнение траектории следует из (2) и (4):
j
- 1
J
v __ Г _____________________0 + th ay) dy
Л •
toa
- (l + they>>
2.12. Направим ось z декартовых координат вдоль напряженности магнитного
поля. Тогда уравнения движения протона могут быть представлены в виде
тх = еЕ cos <о / - kx + - уН\
с
" 'С '
ту - еЕ sin <о t - ky хН\
па - -kz.
Проекция скорости протона на ось г находится без труда:
г = be~yt,
где y-kjm. Чтобы найти решения двух других уравнений, умножим обе части
второго уравнения на мнимую единицу, а результат умножения сложим
почленно с первым уравнением. Тогда получим
102
Законы изменения импульса, момента и энергии
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed