Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 31

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 88 >> Следующая

2) eijb=l, если упорядоченная система индексов г, /, k отличается четным
числом транспозиций от 1, 2, 3;
3) et3fe=-1, если упорядоченная система индексов г, /, k отличается от 1,
2, 3 нечетным числом транспозиций.
Используя (1), получим
' - - [Г [VH]]* = - evhi vk^l'
at с с
Далее учтем, что
ei0V ^ 3[fe Зр/ - б,; брА-
Следовательно,
- (М*1> Я8) - Я. <д* 08));
dt с
Я" (ЧЧ,)) =
at с
= JL . [(Нг)а - Я(r)га] =-------------- . - [Hr]2.
2с dt 2с dt
2.19. Запишем законы сохранения в цилиндрических коорди-
натах:
т?^--~Р^Н^Мг0', (1)
АС
(р2 + Ра Ф2 + 22) = ?0; (2)
тг = рг0. (3)
Далее из (1) -(3) найдем
2 Гг.. I (М (А\
Сохранение импульса, момента и энергии точки
107
Затем из (1), (4) получим
(5>
Вводя обозначения
Я = 4Ьг; Рх = 2/пЯх;
е<>Н '
R2 = ю= е*и
т со ж
перепишем (5) в виде
Ф-Фо '
4-^1)
/и-(
я*-Н>
р
.2
Следовательно,
i?2 = Р3Hh го - 2pr,)Cos<p. (6)
Это уравнение окружности радиуса R, ее центр находится на
расстоянии г0 от начала координат. Если Mz0>0, то R>r0
- окруж-
ность охватывает начало координат; если Л4г<0, то R<r0 - окружность не
охватывает начало координат.
Наконец, из (4) находим зависимость p(f):
_! Г. ДРЯ ¦ :
* ** a J У + '
Р2 (О = R2+ г о + 2 Rr0 cos со (i - ta).
2.20. Напишем интегралы момента импульса и энергии в цилиндрических
координатах:
">Р,Ф + -^р,=Мгл; (1)
Исключая из (1) и (2) ф, найдем
?о = -^(Р2 +22) + Ueft (р, 2Г, Мг0),
108
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл 2
где
(Р. *. *->=(*- - р2)!+•
Нетрудно видеть, что
t/rfi (Р, г, -Мг0) = ?/",<р, г, Мг0) + е/Ш*
тс
поэтому ограничимся случаем МгО>0.
Уравнение, определяющее разрешенную область изменения координат риг,
запишем в виде
^eff(P> г" ^го) ¦С Еь. (3)
Вычислим далее
dUtfj м1о . т / еН у eQp ...
ф тр3 4 \ тс ) {o*-fz2)3^2 '
d?/cff zQz
дг (p2 + z2)3'/2
(5)
Из (4), (5) следует, что орбита -окружность -должна лежать в плоскости
г=0. Радиус р0 этой окружности определяется уравнением
т со2 4 - -Al^O еН
-- Ро - eQp0 = -; со =----------.
4 т тс
В случае eQ = - e0Q < 0
М2м ,, ,
Ро =-njMpo-C/; mecQ
Ро-(^),/2 при р0 " I,
\ то" /
, / О тс2 \ 1/з л
где 1 = l-y- •'-jjZ'j -размер области, в которой энергия магнитного поля
порядка тс2. В случае eQ > 0
Р">(-^гГ.
\ тша /
2.21. а) Преобразуем закон изменения момента импульса к виду
-IT =lrF1 =-5-[r м[ "~3г ('"* ¦-г (""•
Поскольку г2= га, то гг =-tv и, следовательно,
dM eg f 'r tf \ eg d r
Сохранение импульса, момента и энергии" точки
109
Таким образом,
б) В тензорных обозначениях имеем
dMi ~ eg Р х е icx-- * Vtkl xk ь1тп лт лп ~ dt с
= -Ц- (*/2-*. *"*") = - (- - "Г
сг3 с \ г г3
eg d Xj
с dt г .*
Следовательно,
"С,.
1 с г
2.22. Запишем векторное уравнение движения
тт = еЕ + - [vH]
с
в тензорных обозначениях
тх1 = еЕ1 + -гш1хкН1. (1)
с
Умножая обе части (1) ни xt и суммируя по i, получим mxLxt = eEixi + -
e,w xkHtxt.
Теперь заметим, что
8ifti ХЬ*1 - %ll Xi Xk - ^ikl XkX >
и, следовательно,
6ш xk xi ~ 0.
Кроме того,
•• • d х?
x, x, =
11 dt 2
Таким образом,
110
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл 2
или в векторном виде
d ОТР8
dt 2
= е Ev.
2.23. Пусть р - плотность шара; г, 0, <р - сферические координаты
элементарного объема шара. Энергия взаимодействия шара радиуса г<а и
элементарной массы dm=pdv, расположенной на поверхности этого шара, равна
(4яга \ р dv
- р)^ =
= - Y pr dr Bin QdBdqi.
Следовательно, собственная гравитационная энергия шара радиуса а равна
а 2п п
U =------- ура J г* dr J d<p J sto 0 d0 = i- v (4эхр)а
ООО
Поскольку масса шара
М = - ро3,
3 v
то
У = -±.Л?1.
5 а
2.24. Потенциальная энергия равна
w = -vj-a?
где г' - расстояние от элемента шара массы dm до точки массы тг.
Введем сферические координаты с началом в центре шара. Тогда
г' = г - ?; г'2 = га + -¦ 2r | cos 0;
an 2rt
и = - Y [ ?* rig f Sin 0d0 f dtp----------^--------- =
rJ6 J (f + Is - 2r | cos 0)1/
2яур m2
о
a
[r + i- V(r - IY ]¦
0
Сохранение импульса, момента и энергии точки
111
Если г > а, то К(г - |)2 =г - ?; а
а
U 4яуртг - у "Ь"*
о
Если же г < о, то
г а
I/ --------2яурт2. Jj2i2d| + J2r|d|j =
= -Y
о
т1 т2

2.25. 1) Потенциальная энергия равна
[-(тП
,, (* т dm
и = -у)-'
здесь г' - |г -1|, а г и |-радиусы-векторы точки с массой т и элемента dm
соответственно.
Имея в виду г > а, получим приближенно
1 1 е 1 I 1 et д* 1
/ а V *Т" 0 btajfe Т Т " •
г Т г 2 дхi dxk Г
Следовательно,
U =-----^dm + уm^dm=
mM , mrd V г. З2 1
= -Y-------Ь Y -: ~ А*Р -7-т-
г г3 6 dxt дхь т
где М - масса Земли, d = J | dm\
Da 13 = J (3Ip - |2 6ap) dm.
Помещая начало координат в центр Земли, найдем что d = 0. Теперь
предположим, что Земля представляет собой симметричный эллипсоид с
полуосями а, а, с. Направим ось г по оси симметрии эллипсоида. Тогда
интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию
по объему сферы заменой переменных |i = ах; %2 - ау\ |3 - cz. Выполняя
это интегрирование, получим
DU=Z)M= -1м(а2-с2);
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed