Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
окружности радиуса а в плоскости движения. Между точками поворота
материальная точка движется по отрезку прямой
г -
Мо/|^ 2/и (?о -С/о)
(2)
cos (ф + с)
На сфере г -а происходит отражение точки таким образом, что ее скорость
скачком меняет направление на угол, равный
я - 2 arcsin-^- j У 2т (Е + U0).
При условии
arcsin^- jV2m(E+ U0)
kn
~
(k = 1,*2, 3,,..)
траектория будет замкнутой ломаной линией.
Если энергия и момент импульса точки связаны соотношением
М*
Е>
2тч*
то движение становится инфинитным Вне сферы г=а траектория есть прямая
(1), а внутри сферы - прямая (2). Следовательно, на границе траектория
преломляется на угол
arcsin j У2т (Е0 + U0) - arcsin j V2тЕ0.
Двнйсенне в центрально симметричном поле
119
При г>а точка движется прямолинейно и равномерно со скоростью V2Е01т. При
г<а на участках ломаной линии точка движется также равномерно и
прямолинейно со скоростью
К2 (?0 + U0)lm.
2.37. Уравнения движения частицы под действием центральной силы (в
плоскости движения) дают
m (г - гф2) ¦= F, mr\ = М0.
Отсюда получим уравнение
d*a , , mF
+ " =
dcpa MpU2
где и = 1 /г. Это уравнение запишем в виде
m о)
dtр* М* ба
М ааа
где f/еи = i/ Н-9-, at/ - потенциал центральной силы.
2т
Полагая для слабо возмущенной круговой орбиты и = Ид -f- ^ (Иц = 1 /г0;
111 'С. Ио) и учитывая, что при круговом движении
Е0 = ?/е ft; C/eff = О, из (1) с точностью до первого отличного от нуля
члена найдем
Это уравнение имеет гармоническое решение тогда и только тогда, когда
Uln (%) > О
или
Так как в случае круговой орбиты
Ml/tn = - FjtF, критерий устойчивости можно записать в виде
3F+r- < 0. (2)
dr
Если сила притяжения пропорциональна г~п, то условие устойчивости (2)
выполнено при п<3.
120
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
2.38. Для сред с показателем преломления /i=rt(jr|) закон Сиелла имеет
вид
гп (г) sin а (г) = const, (I)
где а - угол между радиусом-вектором и направлением распространения луча.
При движении точки в центрально-симметричном поле
+ U = (2)
mru sin а - М0. (3)
Из (2), (3) находим
М0 = г V2tn [До- ^ (г)] sin а. (4)
Сравнивая (4) с (1), видим, что роль показателя преломления играет
величина
п(г) = V2т [Е0~ U(г)] .
§ 3. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату
расстояния до центра силы
2.39. Поместим начало координат в центр Земли, оси координат направим на
"неподвижные" звезды, а одну из координатных плоскостей совместим 6
плоскостью движения. Далее запишем интегралы момента импульса и энергии в
полярных координатах:
т ргср - М0; (1)
тра
Ueit - Eq,
где
(2)
М t
и eft =------- + ~7 ,Е'0 = Е0 - mgR (g =
a/m/?2).
р 2т р*
Затем положим р - /? + г (г < /?) и разложим (1) и (2) в ряд Тейлора в
"точке" z- 0:
mRx = М0 (х = /?(р);
Движение под действием силы тяготения
121
Из (3) видно, что влияние кривизны Земли приводит к эффективному
изменению ускорения свободного падения.
2.40. Используя систему координат, выбранную в предыдущей задаче (эта же
система используется в задачах 2.41-2.47). Тогда уравнение траектории
тела имеет вид
г== р ( (1)
1 + е cos ф
причем в точке бросания
* = ? , (2)
1 -j- е cos фо
Поскольку vl "СgR, можно положить r=R+z, где z<glR. Затем обозначим через
х=^(ф-ф0) длину дуги большого круга, секущего поверхность Земли в
плоскости траектории. После этого разложим (1) в ряд Тейлора в точке ф=ф0
и получим
r=,R + z= р- + ремпфо +
1 -j- е cos фо (1 + е cos фв)2 R
р е cos ф0 2р е2 sin2 ф0
(3)
(1 + в cos Фо)2, (1 + е cos фо)3
Теперь запишем параметр и эксцентриситет орбиты в виде
p = kRcos2a;e2=l-(2 - k) k cos2 a, (4)
где IgR, a се- угол между начальной скоростью и гори-
зонтом. Тогда из (2) и (4) следует, что
е cos фо = k cos2 a-¦ 1; esitHp0 =¦ /г sin cx cos a. (5)
Подставляя (5) в (3), находим
. 1 1-k - k sin2 a x3
2 = X tg a ----------------------- . . (6)
2 к cos2 a R 4 '
Если в числителе второго слагаемого в (6) пренебречь членами -kt то
получим уравнение параболы
z-x tg a -
g
2oq cos2 "
справедливое в случае "плоской" Земли.
2.41. Производная вектора С по времени равна
4С г' mi < г i.i nr ar
122
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл 2
Далее, поскольку М - 0, а тх = - аг/г(r), получим
~ = ~~ [г [rv]] -f- + ^-(rv) - 0.
Вектор С лежит в плоскости орбиты, так как СМ=0. Этот вектор направлен
вдоль большой оси эллипса в сторону перигея. Действительно,
Сг = [vM]r - аг - - аг,
т
М(r)
Cr cos Ф аг;
т
М1
т
г =-----------.
а + Ссовф
Следовательно, р = М2/т а; е = С/а.
Вектор С удобно использават.ь для определения ориентации боль-шой оси
эллипса и положения перигея относительно радиуса-вектора начального
положения.
2.42. Используя интеграл движения
С = [vM] - а~У' (D
найдем положение большой оси орбиты. Умножая обе части (1) скалярно на
г0, получим
р П
CRcosф0 = pa - aR; cos tp0 = ----------,
ън
где фо - угол между радиусом-вектором начального положения и прямой,
проходящей через начало координат и перигей.
