Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
О
D33 =------------М (а2 - с2); D\% - Оц = D31 = О,
о
112
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
Затем учтем, что
Эа 1 _ 3xtxk
дх[ dxk г г5
и найдем
утМ(а2-с")_ (1_Зсо8ге),
г г Юг3 v
где 0 полярный угол вектора г.
2 q3L
Измерения дают значение а ~-=• 0,000546 а2.
2) Используя соотношение
Joe ^
= 77317 <"**), х-г?|,
/=0
где Р, (х) - полиномы Лежандра, найдем
г=о
Учитывая, что
00
Рх (cosx) = cos х; ^2 (cos X) = Y (cos2 X - 1)= Y ( " 1).
получим
- Y [3 (a2 sin2 0 + C2 cos2 0) _ (2fl2 4- C2)]
+
,Y^H Y_^_(a2_C2)(l_3cOS2 0).
2.26. Запишем теорему о вириале сил для любого числа частик, удерживаемых
внутри некоторого ограниченного объема силами притяжения. Полная
потенциальная энергия такой системы равна
i /
<w>
("*/ = YffW (гг/ = г, -Гу), (1)
Сохранение импульса, момента и энергии точки
113
уравнение движений t-той частицы имеет вид
"Л <= ^ (г, - гу). (2>
/ Ч </*"
Умножим обе части (2) скалярно на г; и результат умножения просуммируем
по всем частицам:
У] Щ (г, у,) = V V (Г( - Гу) г4. (3>
i ! i Ъ
После преобразования левая часть (3) становится равной
-2S-i-+-*-"**¦ w
t
Преобразуем теперь правую часть:
? -тЧг' - ¦>) ',= }? ±L [(г, - Г,) г, + (г, - г.) г,] =
1,1, гч i.f, T'i
(№i) U?=i)
2 A- r(-y i,j.
(t 4)
Подставим (4) и (5) в (3) и усредним (3) по ^большому промежутку времени.
Тогда, учитывая ограниченность всех rt и v{,
fS^)-т<">-
i
Поскольку U является собственной гравитационной-энергией Солнца*
w-г-^г-
где М, R - масса и радиус Солнца.
Далее, согласно закону равнораспределения кинетической энергии по
степеням свободы получим
114
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл. 2
здесь N - число частиц Солнца, в основной атомов водорода и гелия.
Следовательно,
Т - уМа _ уМт 5 RNk бkR '
где m=MIN - средняя масса одного атома.
Для оценок примем М = 2- 1G33 г; R = 7> 1010 см; т = 3-10~24 г. Тогда
Т^Ю7К°.
2.27. Умножая обе части уравнения движения заряда
тт = F + - [vH]
с
скалярно на г и учитьшая, что
А .. .
ГГ= ГГ + Г,
dt
найдем, что
Л . -^1 -tfK>3 = rF+-H[rv]. (1)
2 dt* с 1 1 к }
Если движение заряда происходит в ограниченной области пространства, то,
усредняя (1) по большому интервалу времени, получим
где М = m [rv] - момент импульса. В частности, для потенциальной силы F
из (2) следует
(tm)>-
2.28. (F) =2?/а.
2.29. Пренебрегая силой торможения
из уравнения движения находим g точностью до величин порядка vfc
v ~ - Ё -- [vHj.
m те
В том же 'приближении v = - Е, следовательно,
т
Сохранение импульса, момента и энергии точки
115
Соответственно этому приближению имеем
(3)
Потому для нерелятивистских скоростей условиями малости силы f являются
условия
Условие (4) можно записать в виде
(г0 - "классический радиус" электрона), а условие (5) - в виде Я <
т*с*/(?.
2.30. Среднее за период 7,=2я/(о значение мощности сил, действующих на
заряд, равно
Подставляя сюда найденные в предыдущей задаче выражения
3 т*с*
I [EH] 1" еЕ.
(5)
e(vE>+<vf).
(1)
и
v = -Е0з1п(о^,
(2)
С другой стороны, среднее значение производной импульса
(3)
Таким образом, из (2) и (3) следует, что
116
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл. ?
§ 2. Движение в центрально-симметричном поле
2.31. Из уравнения траектории [1, стр. 81] находим, что
Мд/тг* _________________ const
- (Eg~Ue ff) m
Отсюда U - - const /г2.
2.32. Эффективная потенциальная энергия
JJ КГ" , мо
им = -т- +
3 2 тг"
достигает минимума при
\ тк /
Отсюда получим
,? __ к Д = - Го.
пг
2.33. Решение задачи сводится к вычислению интеграла
_Мд
~f~ -{- с) =
Результат можно представить в виде
г-г0ехр (-г(ф + с)"+ ^
^ 2Ml 2mo j
2.34. Траектория точки определяется квадратурой
(ф + с) = ±
тг8
/
где следует положить ?0=0 и
т
Движение в центрально-симметричном поле
117
Вычисления приводят к траектории - лемнискате Бернулли:
2 ]/ 2/псс
М
cos 2 (ф + с).
Ее график при с = 0 см. на рис. 1.10, с. 69.
2.35. Уравнение траектории определяется квадратурой
Ч=(ф - Ф0)
М0
тгъ
dr*
Интеграл в правой части вычисляем так же, как и соответствующий интеграл
в задаче Кеплера. В результате получим
__________________Р + 2 (Р/а)________________
г =
1 + У*2+ cos У1 + -7- • 7 (Ф-
(1)
Фо)
где р, е - значения параметра и эксцентриситета в задаче Кеплера.
При ?о<0 движение является финитным. Смещение перигелия за один оборот
определяется интегралом
rmax Мо
тг2
dr
Дф
где
- 2я .
V -4*.+-
f rn L г
64- Ж° I *
р + _^г1~
_1_ г2
am
"(гх) VV+
Mi
2 Епт
(2 pm + Л12)*
2 pm + /И;
Поэтому смещение
Дф =
2я
- 2я.
у 1 + 2ЯФ/М2
2.36. При г > а траектория точки определяется интегралом
dr
(Ф + с) =
118
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл 2
и представляет собой прямую
г =
cos (<}> + с)
отстоящую на расстоянии MjV2гпЕ0 от центра силового поля.
(1)
При г<а и значениях энергии, лежащих в интервале
м0
2 та2
Оо <Е<
М0
2 та% '
движение будет финитным (рис 2 36) Огибающей семейства траекторий
является окружность радиуса M0lV2m (Е0 + О0), а точки поворота лежат на
