Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 23

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

электрическом и магнитном полях.
9.28. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для заряда,
движущегося в поле волны с вектором-потенциалом A=acoso/. Найти закон
движения заряда.
9.29. Однородный стержень массы т. скользит по гладкой вер-
Канонические преоаразования вариационные принципы
65
тикальной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной
угловой скоростью со (/ - главный центральный момент стержня). Найти
полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для стержня. Определить
закон движения стержня.
9.30. Исходя из уравнения Гамильтона - Якоби, получить уравнение,
выражающее второй закон Ньютона.
§ 3. Канонические преобразования.
Интегральные вариационные принципы
9 31. Наити каноническое преобразование, соответствующее производящей
функции d>i (q, Q, t) = 't,q%Q%.
9.32. Показать, что производящая функция определяет тождественное
каноническое преобразование.
9 33 Показать, что выражение
i=i
является полным дифференциалом относительно 2 s переменных q, Q, если
"старые" и "новые" переменные подчинены каноническому преобразованию
9.34 Найти каноническое преобразование, соответствующее производящей
функции Фа (<7iсК t) - q-f (bq-a^)t, где а, b - константы. Записать в
новых переменных уравнения Гамильтона
9.35. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией
ф* = -f-"(0 q2 ctg Q.
Записать уравнения движения в переменных Q, для осциллятора с переменной
частотой.
9.36 Известна функция Гамильтона системы с двумя степенями свободы
И=\[Р\ + Pi + я\ + (<7а - Ях)2 +,q22]-
Найти коэффициенты аь а2 производящей функции канонического
преобразования
Ф1 = а\ (дг -f qtf ctg Qx + a\ {qx - q2)2 ctg Q%,
при котором гамильтониан приобретает вид
i + /3^2.
Найти собственные частоты и главные координаты системы.
3 Зак 4
66
Уравнения Гамильтона
{Гл. 9
9.37. Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно
малом каноническом преобразовании с производящей функцией
S(q, <Р) = +e/fo, Р),
I
где е < 1, a f(q,aP) - интеграл движения.
9.38. Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция S (q,
t), порождающая каноническое преобразование
к постоянным импульсам и координатам.
9.39. Найти производящую функцию и каноническое преобразование,
обращающее новый гамильтониан Ш осциллятора в нуль.
9.40. Получить уравнение Лагранжа для голономных систем из принципа
наименьшего действия.
9.41. Вывести уравнения Лагранжа для системы с идеальными линейными
неголономными связями из интегрального вариационного принципа.
9.42. Написать принцип Мопертюи для свободного заряда, движущегося в
заданном стационарном электромагнитном поле; найти дифференциальное
уравнение траектории заряда.
9.43. Найти действие для свободной частицы, движущейся в отсутствие полей
с энергией Е0 (траектория частицы проходит через точки Г! и г2).
9.44. Найти форму плоской траектории у{х), для которой время движения т
между двумя заданными точками в однородном поле тяжести минимально.
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
Кинематика и уравнения движения материальной точки
§ 1. Кинематика материальной точки
1.1. Используя параметрическое представление эллипса x=acosg y = b sing,
находим, что отличная от нуля компонента ускорения равна
у = Ь (cos l-l - sln|-i2)- (1)
Далее, поскольку х = 0, то х - х(0) = v0. Из этого условия получим
у0 = - a sin g*g.
Следовательно,
Щ . ? _ V0 f cos 1
.......'" 5 S'
uo cos |
a sin ? a = sin2 ?
Подставляя (2) в (1), найдем
у =•-
a2 sin3 g
1.2
a2 sin31
aV
ayvо
1/2
ад
+
(-v)!
1/2
v\ a2 у
(2)
1.3. Совместим начало координат с начальным положением точки. Из условия
задачи (в полярных координатах)
ф = а>, (Р2 + р2 Ф2)1/2 =--
3*
68
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл 1
получим
ф = (c)(*-- /0); р = (о§_ р"(c)2)1'2.
Отсюда найдем
г ---------t-i.
J (4-pW),/2 или
Р = ("<,/(c)) sin со(t -*"); (0 < t -10 < я/со).
Следовательно,
р - t"0 cos со (? - tQ)
и
V = Va COS CO (t - *0) np + v0 Sin CO (t ~ 10) Пф.
1.4. Так как угловая скорость постоянна, а г/(0) = О, то x=pcosootf;
#=psinci)T Подставляя эти функции в уравнение эллипса, найдем
Р2
a2 sin2 cof 4- b2 cos2 (at Следовательно,
- in ofoi - ( aft e> (b2 - a2) sin 2ayt ab co
\ 2 (a2 sin2 ш t b2 cos2 (otf^ ' (a2 sin2 Ш - b* cos2 otfj1 /2
1.5. Согласно условию задачи
~ p2 ф = ore; p2 + p2 ф2 = o§.
Исключая ф, найдем
2o0 \2 2, f* dp
P!+|-Г=* С , - -¦ - c:
Подставляя эту функцию в условие постоянства секторной скорости, получим
2(Те
Ф =
Кинематика точки
69
Следовательно,
2а*
v = (Р, РФ) = I
2а* \4 2 .11/2
+ 4 1
Vo /
Vo
1.6. Используя выражение г=рПр радиуса-вектора точки, движущейся в
плоскости, запишем секторную скорость в виде
(r) = yp[npv],
аг = ~ Р v sia а = а°, (1)
Следовательно,
где а - угол между скоростью и ортом пр. Далее, из треугольника,
вершинами которого являются точка О', центр окружности и движущаяся
точка, находим
а1 р2 + R2 - 2Rp sin а. (2)
Из (1) и (2) получим
4а0 R
V =
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed