Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
М^М0е m (п = 1); (За)
= [мг1-
1
М = [мг1-^?~~1)аД~1 tf 1 (Пф I), (Зв)
m
где М0 = mRVgrot го - радиус начальной круговой орбиты.
Из закона изменения полной энергии аналогично найдем
dt "\ / V /
Из (2) и (4) получим
dE та2
dM Mz
и, следовательно,
134
Законы изменения импульса, момента и энергии
ГГл 2
Зависимость параметра от времени определяется формулой
(в)
т а
Скорость изменения расстояния до центра Земли равна
^ I 2 ММ __ 2у п-2*^3-п
P=Pg ¦ = -гг а м ' /я а /я*
В случае п = 3 радиальная скорость постоянна: в случае п = 1
p=p"=_Ja:
m*
2V<
р(0 = -
*" "в
та
Из (6) можно найти время i* падения на Землю = а; л т^= 1):
п-1
2
/я в (tm) [МГ - (/иаЯ) ].
-V ("- 1) в""'1 1 v J
Угловая скорость в момент падения равна
• ( М \ т a* fa { g \1/2
R \ mp* / р=л M3 \ mR3 j \ R /
Таким образом, угловая скорость в процессе торможения спутника атмосферой
возрастает от значения ~ 1/2 до j1/2.
Нетрудно также вычислить радиальную скорость в момент падения:
з-п
pR= _ 2 .
т*
2.60. Отклонение формы Земли от сферической приводит к потенциальной
энергии (см. задачу 2.25)
U(x,y,z)~U{r) + &U(r)
или к силе
F = ~5?- + Fi(r). где Fx (г) - малая нецентральная сила.
§ 3]
Движение под действием силы тяготения
135
При Fx = 0 положение большой оси орбиты спутника определяется вектором
(см. задачу 2.4J)
с = [vM] --.
Однако ввиду наличия малой возмущающей силы F1( вектор с медленно
изменяется со временем. Действительно,
-f-.ilF.MJ+ [,№11^0.
at т
Следовательно, большая ось меняет свое положение в пространстве
2.61. Интенсивность излучения на расстоянии г от Солнца равна
4я/Л
и связана с плотностью импульса излучения g соотношением g= -//с2. За
время At к площадке As поверхности частицы подходит излучение,
заключавшееся в объеме As cos а- с At (а - угол между нормалью к площадке
As и прямой, соединяющей центры Солнца и частицы). Если происходит полное
поглощение, то изменение импульса равно gscAt(s = na3). Следовательно,
сила светового давления, действующая на тело, равна
Fr = gsc=^-s=^.
С 4сгъ
Запишем уравнение движения частицы в гелиоцентрической системе отсчета:
тМ _ . k , ЛГа2 = - У --г+ -- г; k = --.
Т% т% 4 с
Поскольку движение частицы плоское, в полярных координатах получим
m (р - рф2) = {k - ymM) тр2ф = Мм,
откуда
Ра
dq>2 \р )
+
1 (ymM - k)m
dq>2 V p / ' p Mia
Интегрируя это уравнение, находим траекторию в виде 1 я I (ymM- k)
136
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл 2
ИЛИ
С I f/
Y тМ - k т
А - постоянная интегрирования.
^ Р
т (утМ - к) '
§ 4. Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и
энергии системы
2.62. Центр масс стержня перемещается только по вертикали. Если вдоль
этой вертикали направить ось у, траекторию верхнего конца можно записать
в виде
Таким образом, траекторией является эллипс.
2.63. Из уравнений движения
следует, что радиус-вектор центра масс и радиус-вектор г = г2 - гх
соответственно подчинень^ уравнениям rM = g; г = 0. Поэтому
mtr1 = тхg; т1гг = m2g
/Til "1" ^2 ^1 *4" Nhl
a r = r0-fv0i (г0 = гго- r10; v0=v20 - v10).
2,64. Используя уравнения движения зарядов
"ьп = (rx - г2) -f ехЕ\
(1)
щг'г - - (Г1 - га) + г = |га- rx J
(2)
и определение
ЩН + mafa
Сохранение импульса, момента и энергии системы
137
найдем
(/% + пц) гт = [ех + е2) Е.
Умножая (1) на пц, а (2) на тх и почленно вычитая результаты умножения,
получим
рг = + ц(- -Е,
Г3 \тг тх)
где
тхтг
Г=-Г2
В случае, когда е1/т1=е1/'тг, электрические поле не влияет на
относительное движение зарядов.
2.65. Исходя из уравнений движения системы
ЮЛ = - гг) +- [viKJ;
Т* с
(fi " га) + - [V2H] >
получим
Гя = Л lrmH] (а pf e ААГ + -К5- [гН].
А
тс
где r = r2-rj; р- приведенная масса.
2.66. Очевидно, что столкновение происходит в перигее метеора. Поэтому
г - Pl ° -•
l+8i
где pi = 4r0, следовательно ei = 3.
В момент столкновения сохраняется проекция импульса на направление
относительной скорости тел. Отсюда вытекает, что скорость образовавшегося
тела
v = nVl - °° • п+1 '
здесь v0 - УдЯ^/г0; ьг=Уg^lpi (1 + М = 2 Vg^l^o -соответственно скорости
спутника и метеора в перигее (см. задачу 2.46). Таким образом,
0 _ (2"-1) -"/ gR*
tl + 1 f Г0
138
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл. 2
Момент импульса образовавшегося тела
М = (п -+ 1) m0vr0 = (2п - l)m0 Vg$*F0, где т0 - масса спутника, а полная
энергия
Далее получим параметр орбиты нового тела
Ма __ г I 2га - 1 N *
IП
-t- XfmlSR* n + i
и ее эксцентриситет в виде
е"_ 1 = Ш. e ( JlLzJLV Гl^LV _ 21.
яга* \ п + 1 ) L\ я+1 } J
Итак, тело будет двигаться по эллиптической орбите при условии Д< 0, т.
е.
< /2 или о< n< jft'hL .
я+1 2-/2
Если ? > 0 или п > 2 + 4/2, то тело будет двигаться по гипербо-
2
лической траектории.
2.67. Уравнением движения t-той точки является уравнение
mfi = - - г;) (t> 1, 2,... , N). (1)
г
Просуммируем (1) по всем точкам {т. = и получим
nira = - ? k (mLm, г, - mlmj rt). (2)
i.f
Заменяя во второй сумме в (2) индексы i j, найдем
