Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
соударения равна (v-и). После соударения его скорость равна- 2(nv-
nu)n+(v-и), где n - нормаль к плоскости, В лабораторной системе скорость
шарика после соударения равна
v' = v - 2 (nv - nu) n.
3.10. Максимальная скорость, приобретаемая ядром Н в результате
соударения с нейтроном, равна
2 тпщ.
Vfi
тп Ч тн'
Из этой формулы определить тп нельзя, так как неизвестна vn. Чтобы
определить тп, Чэдвик рассмотрел соударения нейтронов с ядрами азота,
максимальная скорость которых
_ 2тп уп
vN mn + mN *
В результате
inN VN - 'тН VH . 1С
тп =--------------------- 1,16 а. е. м.
VH~VN
(установленное более точное значение массы нейтрона, равно 1,0089 а. е.
м.).
3.11. В системе координат, связанной с частицей, для угла рассеяния 0
имеем
СО8 0=
t)a '
где v, v'- векторы относительной скорости до и после рассеяния. С другой
стороны, для угла рассеяния 0т в системе центра масс имеем
cos 0m =
(г - rm) (г' - гт) |Г - Гщ| |г' -
где г и гт - радиусы-векторы p-точки и центра масс соответственно. Отсюда
заключаем, что
150
Задача двух тел и рассеяние частиц
{Гл. 3
3.12. Считая, что после рассеяния относительная скорость v+ = = - о tig,
найдем скорости частиц после рассеяния:
vt - vm + "v °а;
ПХ
vt = vm -о По;
т
здесь vm - скорость центра масс; т = m1Jr тг. Отсюда
р^ = vm + р опв; (О
pt = щут - ИОП0. (2)
Направим ось z параллельно скорости центра масс. Тогда из (1) получим (0,
<р - полярный и азимутальный углы вектора пе)
pi = m1om + pocos0;
р,+ = ц V sin 0 COS (р; (3)
pfy = posln0 sin (p.
Из (3) находим
{pt - miVmf + (ptxf + (ptyf = (P V)\ (4)
Следовательно, уравнением поверхности является сфера радиуса ро с центром
в "точке" niiVm на оси рг.
Аналогично из (2) найдем
(pt - +(pi)2+Ш = (р v)\
Рассмотрим частный случай рассеяния на неподвижной мишени.
Тогда vm = -?5-1>Г; v '^v~ и (4) переходит в уравнение (? = т1/тг) т
(ptz-k P0i)2 + (pi)2 + (pty)2 = (pOi)2.
1) При k<\ сфера охватывает начало координат; возможны все углы рассеяния
01.
2) При k=\ сфера проходит через начало координат. Предельный угол
рассеяния 01=л/2.
3) При k>l начало координат лежит вне сферы. Предельный угол рассеяния
0imax=arcsin(m2/mi). Кроме того, одному углу рассеяния 0j соответствуют
два угла рассеяния в системе центра масс:
COS 0m =- Л2 ОЮ2 01 ±008 ?26in2 01 .
Сечения рассеяния и захвата частиц
151
§ 2. Сечения рассеяния и захвата частиц
3.13. Ответ:
d cos 0ОТ dcos0a
2ft COS 0.2 +
1 + k% cos 2 0a Vl - k* sin^T
ft = ~ < 1;
1 -f cos 26a ft 1 • Y1-A*sina0a '
ii cos 0"
=¦ 4 cos 0!.
d cos 0i
3.14. Максимальное значение прицельного параметра, при котором
столкновения еще возможны, найдем из условия
^eff |/-=гт1п+2д = Е0тт," - 2а.
Отсюда получим
Ртах = 4а3 +
'О mln
4а
mv'
и, следовательно,
а - 4я аа
4яа
тгг
3.15. Вводя безразмерный прицельный параметр
Г \1 in , .. г,а
найдем
Величина
d а = 2яр d р = 2я v~i/n
vda
v{n~i)/n fofy
является важным множителем, входящим в кинетическое уравнение Больцмана.
Молекулы, взаимодействие которых определяется потенциалом с п=4,
называются максвелловскими молекулами. Для таких молекул вес рассеяния
vda не зависит от относительной скорости. Угол рассеяния в системе центра
масс для случая я=4 может быть представлен в виде эллиптического
интеграла
152
Задача двух тел и рассеяние частиц
{Гл. 3
где
(р2"+ Р%а+")*
J8L
1 4а 3.16. Согласно задаче 3.6
ап
р" = _^±1
руа0 \ 2 ' 2
где В - бета-функция [8]. Следовательно,
<Т (0Л1) =
da
dQm
an
20
фа
dQ
цч*
2/я
е*
(¦+i)
В частности, для кулоновского поля (л=1)
/АЧ ( 2а* \з 1
° ^ _ ( ро* ) 0* '
3.17. При рассеянии частиц большой энергии угол рассеяния определяется
переданным импульсом
В9
~1
dU(r)
др
dt (г == р + vf);
г.2 __________
4mW sin2 ¦
Учитывая, что
др
из (1) и (2) находим
(mvQf.
rdr
(1)
(2)
дг
vYr* - pa *
. . 2 7 dU p dr
т.* J 6r ' уТПГрГ
(3)
Из (3) следует, что прицельный параметр зависит не от угла О и
кинетической энергии Т порознь, а только от их комбинации т=9Т.
Сечения рассеяния и захвата частиц
153
Из определения сечения о(0) =
вытекает, что
4- р2 (в)=
sin 6
dp
d0
j 0(0) Sitl
QdQ.
(4)
Поэтому функцию p(0) или 0(p) будем считать заданной (если есть данные о
зависимости о(0) в достаточно широкой области углов).
Умножая (3) на
У Р*
и интегрируя по р в пределах
(х, оо), получим
?*(Р)" _ ?г,г?" *
J /р*-** J ) dr V{*-Р*)<Р* - *")
X х р
оо г оо
рф
/(>2 - р2) (ра-*а)
dU
дг
dr
U(x).
Следовательно, потенциальная энергия
"м~Н
re(p)dP Ург - т*
3.18. Сначала вычислим относительную скорость после рассеяния как функцию
прицельного параметра q: v+/=v+'(v~, q) (v_ - относительная скорость до
рассеяния). Если ввести декартову систему координат с осью z,
направленной параллельно относительной скорости до рассеяния, то из этого
соотношения можно найти р*(0, ф), ру (0, ф) (0, <р - соответственно
полярный и азимутальный углы вектора v'+). Тогда дифференциальное сечение
рассеяния
da = dpxdp =
3) (Рх, Ру)
