Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
первое и третье уравнения, легко найдем
Рх = -~- + ]/-"+ - 2Ро * *Ро Рв
Траектория точки 1 будет лежать между окружностями радиусов ро и рь
2.78. Совместим начало О неподвижной системы координат с центром диска до
соударения и направим ось z вертикально вверх. Учитывая, что на высоте h
начальная скорость шарика массы т равна нулю, из закона сохранения
энергии получаем скорость точки перед ударом (t = -0):
z = - V %gh . (1)
Закон сохранения энергии при упругом соударении приводит к равенству
= + JLz\ (2)
2 2 2 v '
где z и Z - соответственно скорости шарика и диска после удара (М - масса
диска).
144
Законы изменения импульса, момента и анергии
[Гл 2
Пренебрегая воздействием силы тяжести и упругой силы пружины за время
соударения, можно записать закон сохранения импульса:
тг0 - тг + MZ, (3)
Из (1), (2), (3) получим, что материальная точка после упругого удара
полетит вверх по закону
z = -+ V2gh м~-т-1 2 М + т
(это возможно при Af>m), а затем будет падать на диск по закону
^ , h ( М-т' \а
2 \ М + т ) *
Диск при этом будет совершать гармонические колебания
Z = - \f -----------------stalfkfMt,
у k М+т
где к- жесткость пружины.
Максимальная частота соударений в начале координат равна 2 VkjM . Такие
соударения будут иметь место, если
0 М - т f 2kh 2---------- 1/ - я.
М + т г Mg
В случае неупругого удара из закона сохранения импульса получим
mz0 - (т + Щг = {т + М) Z.
Таким образом, диск вместе с материальной точкой совершают синусоидальные
колебания с частотой
, / к
ш -= 1/ ---------,
V т+М
начальной фазой
<р = arctg (- Y
и амплитудой
А = -1/^1 +-------------
к V {m + M)g
около положения равновесия гея - - mg/к.
ГЛАВА 3
Задача двух тел и рассеяние частиц
§ 1. Движение двух взаимодействующих материальных точек
3.1. В системе центра масс из законов сохранения энергии и кинетического
момента имеем
,2
ИР" I (г _______ р
-2----> eff <*'
где
= --V - - (Р " ")2-
е" 2(хр2 2 v
Для круговой орбиты
_Ё^2_ =---------^L + Jt(p_a) = 0>
др ИР
поэтому
Ml = рх (/ - a) Is = (р I о)а и, следовательно, относительная скорость v
равна
Таким образом,
Vi = -f'1_ у = JL уотн = ~1~укц I (I _ а);
Щ + mi Ml Ml
щ ^-о = - Оотн =--------------------------------- а).
ТОд fYl% 171% fit2
mi ... и .. __i
ч-х
3.2. Так как
(1 + еа + 2scos(p)>
Т - И^а ______________
"2 2р
ТО
2"1
(Т) = -а- Г J+.e2.+..2ecos<P dw. 4я р .) (1 -} ecos <р)а
146
Задача двух тел и рассеяние частиц
[Гл. 3
Учитывая, что
Г ------------------------------------- --------------------------------
--(а > Ъ)\
J (а + b cos ж)(r) (а?____б4)3/2
Гя я
Jcos х dx Г dx1_
(о + Ь cos je)a db J а + b cos х
я - яЬ
найдем
дЬ Уа*-Ь* (я*-Ьа)3/2
(Г) = " 1
2 р Y1 - (r)а
3.3. Согласно закону сохранения энергии
JM?
2
+Ае,
где о -относительная скорость после соударения. Полагая v' = 0, находим
.. 1 / 2А в
Vlmln-y - •
3.4. По условию задачи
- _ " __ 1 \
2 w (1)
где mi, т2 - массы а-частицы и ядра азота соответственно; относительная
скорость о = Уь Искомая энергия
_ Щ V?
(2)
Из (1) и (2) находим
7\ = б0 --i- = J2±*"L е0 = 1,45 МэВ.
(J. тг
3.5. Указанное в условии приближенное рассмотрение воз" можно только в
том случае, когда кинетическая энергия mv2/2 электрона много больше его
потенциальной энергии eQ/r.
В уравнении движения электрона
Р = ~^~г (а = - eQ) (1)
?Л
Движение двух взаимодействующих точек
147
ПОЛОЖИМ
Г = г0 + тг + ... ; r0 = Р + v0f.
Тогда из (1) найдем
¦ _ а _ _ а (р -Ь ур<)
Pl 4 ° Р+НФ
и
Pl(/) = _?_.---------!-------р------------------------+_5?_ .
ра (Ра + ^о^)1/2 ио(Р*+ "о<2)1/2 ''"Р*
Основной вклад в изменение импульса q за все время пролета дает
составляющая силы, перпендикулярная скорости Vo; действительно,
q = р (оо) - ро = рх (оо) = р.
Зависимость р(/) можно представить в виде PW-,
3.6. Изменение импульса р-точки определяется уравнением
ап
и v =----------г,
г ГП+* *
где v = г; г = г2 - гх.
В первом приближении (см. задачу З.б) изменение относительной скорости
равно
у+ - у-
от
- _ 0/1 Г Р J
(Р + Ур t)dt
I4- - [ра + °о 2
ар л Г(Т)Г(Т+Т) (|)
|'р.р''" г('+т)
где Г (х) - гамма-функция.
Полагая v+ = о0 пе, где vQ - \ v+1 = | v |, из (1) получим
148
Задача двух тел и рассеяние частиц
[Гл. 3
В частности, для кулоновского поля п = 1 и поэтому 0^; 20
(г (т) " ' г (т)= Т^" )'
3.7. В первом приближении переданный импульс
ОО
Ч = Jt/(P + v0Qtf =
У"оР
-00
ч1/2
д р e-u(Ps+*V>
~ dp j [ра + w*/2]1/2 clt'
"вО о
Учтем, что
Р е- Щх*+в^2
\ ---------------- dx = 2/Со ("И),
J (*• а*) ^
-ОО
где /Ся(х) -функция Макдональда п-то порядка [8, 27]. Эта функция
обладает свойством
Тогда получим
При я С 1
(рц)-.
*.<•*>"-Ц f
* t'oP Р
При х > 1
3.8. Напряженность магнитного поля, создаваемого диполем, равна
Н = rot А; А = [v~-> !*J,
где ц - момент диполя.
Движение двух взаимодействующих точек
149
В первом приближении передача импульса q=p(°o)-ро, т. е.
00
q== -"Г pv°H(p + voO]^ =
-••
3.9. В системе отсчета, связанной со стенкой, скорость шарика до
