Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
энергии__________[Гл. 2
момент импульса для реальной орбиты
М = mR Vgr0 cos б-Следовательно, эксцентриситет и параметр орбиты
соответственно равны
/
1 + 2Eff- = sta 6;
м' =ffl COS2 б,
trPgR}
а отклонения в перигее и апогее
_Р г - г / cos2 6
1 -f е ° ° \ 1 Ь sinS
A ra = -? Го - 'об-
1 - е
Подставляя числовые данные, находим
8=0,017; р= (6,680 -0,003) • 10е м;
Д гр - - 0,11 • 10е м; Д гв = 0,11 • 106 м.
2.53. Модуль скорости спутника
v = v0 + Д v; v0 = &-¦; r0 = R + h.
Его полная энергия и момент импульса соответственно равны ^ _ . mv2 mgR8
mgR8 Tg___/j At>
2 r0 2r0 L \ ?J0 / J'
M = +^)-
Следовательно,
I \ "0 / I v9
/. , Д t> \*_____/, . 2Av \
+ -) ~41 + -);
Л) = 0; Ar0 = r0"4-^-r0.
1 -j- 6 1 " С Oo
Движение под действием силы тяготения
129
2.54. Записывая закон сохранения момента испульса и энергии через
величины, взятые в апогее и перигее:
rava = W
mvl mgR1 _ mv2p mgR8
2 та 2 Гр
получим
f Га-\- Тр Гр Г Гд "Г Гр Гд
Отсюда, учитывая, что hp, ha<?R, приближенно получим
= V'iK(1 + : v^VsR (i + '5e^5
При торможении в апогее для орбиты приземления й' = ha; h'p = О и,
следовательно,
<4 = + VTR (i - -^) - № (i +
При торможении в перигее h'a = hp; h'p - 0, а Ла"-=/р(1 --(1 +!!*=&)
Таким образом, выгоднее тормозить в апогее. Подставляя числовые данные,
находим
Д va = - 53 м/с; A vp = - 124 м/с.
2.55. Скорость спутника
2R
Увеличим величину скорости в любой точке орбиты до значения (см. задачу
2.54)
при этом
Д yi - уР-% = УШ ^"ftl •
В результате спутник перейдет на промежуточную орбиту. В апогее этой
орбиты скорость надо увеличить от значения
5 Зак 4
130____________Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. 2
до величины
соответствующей движению по окружности радиуса /?-}- Aj. При этом
произойдет изменение скорости
Д у2 = о2 - oe = VgR
Пусть h1 = 100 км, }ц = 400 км, До = 64 м/с.
2.56. Учитывая, что центр эллипса отстоит от фокуса на расстояние де,
введем декартовы координаты с началом в точке 0:
х = де+х'; у - у'. (1)
Запишем в этих координатах уравнение эллипса
Вводя угол р между осью х и радиусом-вектором, проведенным из центра
эллипса в А, получим
х = a cos-P. (3)
Из (2) и (3) следует, что #=6 sin р. Затем подставим х, х', у и у' в (1)
и найдем, что |=р.
2.57. Вначале найдем x(t), y(t). Из уравнения эллипса
г= Р------------
1 +еавф
и закона движения находим
х = г cos ф = a (cos ? - е); (1)
у = гв!пф =¦- У^г2 - х2 = 6sing. (2)
Поскольку cos | и sla | периодичны с периодом Т = 2л/со, то
Движение под действием силы тяготения
131
Вычислим коэффициент ап, интегрируя по частям:
|Г
2 Г * " 2 Г_- sin л
йп = -\cos|coanatdt = ~ I cos?--------------
Т J Т |_ п<1
<nt
со
sin яш! d cos ?
Г sin я б
J я 6)
dt
dt
2Я
- J_f sin {л (| - е sin I)] sin g d I ЯП J
= -/п("е); a0 = - e;
здесь использовано представление функций Бесселя [8]
Я
Jn(x) =-^-Jcos(ng-xsln|)dg.
Аналогично получим
г
Jsingsin/гсо^Л -sin| cosft(a^
+
. р cos яш < dsing ,Л 1 р ,,,с. ,ч
~Ь \ ---------------- -dt =------- \С08П(ВШ(Ё - (йП
J яш dt я я s J
2Я
= --- Г cos л - е sin |) d | = - /.(ne). я я е J яе
Итак,
д: (f) = а
- е+ V - /^(ne)cosncdf]; 2 я J
гх=1 оо
v (0 = Y, - Jn (п e)sln п (r) t;
Лшк ПВ
п=1
г(0 = с ^1 4- -у- ^ ~ /"(лe)cosntofl.
П=1
Чтобы вычислить функции
cos Ф = -L ---------1 j; sin Ф = - sin g,
Б*
(1)
(2)
(3)
132
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
разложим 1/г в ряд Фурье;
00
т=т+Ес*с08П*(й'- (4)
л*"1
Здесь
Т 2Я
2 (* cos я ш tdt 2
2 (* cos nmtdt 2 Г
сп - - \-------------т;-:---------г == -~- 1 cos п (Е - е sin |) d
? =
Т J а(1-[ecosl) aTas J w ь
о о
= -~-Jn(nzy, Со -
а а
Используем также, что
00
--- d"sinn(o/, dn = -?~ /П(пе),
Л*= 1
р = а(1 - е2); 6 - а |/1 - е(r).
Тогда получим
00
1 д9
cosф - -е + 2 > /"(де)созли/; (5)
Я=1
00
sin tp = 2 1/1 - еа ^ (п е) sin л со /. (6)
гг=1
Ряды (1)-(6) являются частными случаями рядов Кептэйна [8, 27]. Из
найденных формул можно получить значения некоторых сумм Кептэйна.
Например, полагая в (4) /=0 (|=0), найдей
2(1-8)
"о
П=1
2.58. Вектор M=m[r0v0] перпендикулярен плоскости орбиты. Поэтому угол а
между экваториальной плоскостью Земли и плоскостью орбиты равен
c°sa ~ "ГГ"* Л10 = |М0|.
Мо
Положение прямой, по которой пересекаются эти плоскости, может быть
определено из уравнения М0г=0 (уравнение плоскости траектории), в котором
надо положить z=0:
Мхо х+МуьУ^-О.
Движение под действием силы тяготения
133
Отсюда для фо - азимутального угла искомой прямой - получим
tg Фо =
Мха
Му*
2.59. Из закона изменения момента импульса находим
ЛИ " 1 г 1 о"-1 и
= -. yt)"-1 frvl =¦ - V М.
dt г i J г т
Усредняя обе части этого уравнения за период обращения, соглас* но
условию задачи получим
Т
dM У АД _ _ УЖ
dt
= -М (о*-1) - С if--'ldt. (1)
/71 /TiT* J
О
Учитывая, что на каждом обороте орбита близка к круговой, будем иметь
оа (ф) =
ма
и, следовательно,
-*Ж =_________У2~-М2~п. (2)
dt m w
Интегрируя (2), находим
