Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
pi определяется из уравнения
7"Р? а
R* Rn
поэтому
Т";
3.25. Рассмотрим рассеяние частиц, прицельные расстояния которых лежат в
интервале (р, р+Др), при этом согласно условию задачи Др<р. Разброс Др
прицельных расстояний связан
§2]
Сечения рассеяния и захвата частиц
159
соотношением неопределенностей ApApmh с неточностью Ар, составляющей
импульса, перпендикулярной скорости пучка до рассеяния. Эта неточность
соответствует ошибке в измерении угла рассеяния на величину
Для применимости классической механики в теории рассеяния необходимо,
чтобы угол рассеяния 0КЛ, вычисленный по классической теории,
удовлетворял неравенству
Для кулоновского потенциала 0кл~а/ра2р, и, следовательно, классическая
теория рассеяния справедлива для любых углов,
если
т. е. классическая теория справедлива для достаточно медленных частиц.
Для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский
потенциал,
для которого 0кл~бкв- Таким образом, при p^pi классическая теория
неприменима.
0 L_ "_*_.
кв ру руДр рур
Поэтому всегда найдется прицельный параметр
ГЛАВА 4
Движение относительно неинерциальных систем отсчета
§ 1. Положение, скорость и ускорение материальной точки относительно
разных систем отсчета
4.1. Применяя преобразование Галилея, находим, что в дви" жущейся системе
отсчета
х' = R cos со/ - v0t, у' = i?sln со/.
4.2. В системе S выберем оси так, чтобы
х - v0t; у - р0.
Тогда в системе 5' (если в начальный момент оси х и х' совпадают) к' =
v0t cos со/ + Ро sin ю/; у' = - v0t sin со/ + p0cos со/.
4.3. Координаты относительно систем S и S' связаны преобразованием
х' = jccosco / + г/sin со/, у' = -д: sin со/ + у cos со/. Следовательно,
х' = acos2со/ = - (1 + cos2оо/); у' ----------- sin2со/.
2 2
Отсюда получим уравнение траектории относительно S'
4.4. Переход от одной декартовой системы к другой можег быть выполнен
посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в определенном
порядке. Прежде всего перейдем к осям S*(x*, у*, г*), повернув исходную
систему на угол <р вокруг оси г против хода часовой стрелки. Тогда (х* =
х[, у* = **, г* = х*)
cos ф sin ф О
х* = Dikxky Dik - -sin ф cos tp 0 •
О 0 1
Скорость и ускорение точки в разных системах
161
Затем перейдем к осям совершив поворот S*
на угол 0 вокруг оси х* против хода часовой стрелки. В результате получим
1 0 0
xi - СцхА Сц - 0 cos 6 sin 0
0 -sin0 cos 0
Перейдя, наконец, к осям S'(x', у', г') с помощью поворота системы S** на
угол ф вокруг оси г** против хода часовой стрелки, найдем
Хт = ^mlXl *
где
-э- m 8 Sin ф 0
Bml - - ВШф СОЭф 0
0 0 1
Следовательно, суммарное преобразование
Хт = ~ ^mkXk
определяется матрицей А с элементами
ап - cos ф cos ф - cos 0 Sin ф sin -ф; a2i = - sin ф cos ф - cos 0 sin ф
cos ф; с31 = sin0sfc^;
ап - cos ф sin ф + cos 0 cos ф sin ф;
<hi - -зЬттрзШфЧ- cos 0 cos я> cos ф;
Oja = - sin 0 cos ф; als = sin ф sin 0; a23 = cosij)sin0; a33 = cos 0.
Преобразование координат
xt = ATkXk,
обратное рассмотренному, определяется матрицей, транспонированной
относительно матрицы А.
4.5. Для двух наблюдателей, находящихся в поступательно движущихся
относительно друг друга системах S и S', скорость точки р может быть
записана в виде
Vps = Vps' + Vi's,
6 Зак 4
162
Движение относительно неииерциальных систем
{Гл 4
где vРа - скорость p-того тела относительно s-того. Отсюда, обозначая
буквами О, К, В, С соответственно океан, корабль, воздух и самолет,
получим
Уск - Vcb 4- Увк'> Уво - Увк + у ко-
Следовательно,
Уев = Уск - Увк - Уск - Уво + Уко.
Направляя оси х и у соответственно на восток и север, найдем {*>св)х =*
ъ; (vCb)" = -(vсв)г = - v3.
Следовательно, величина искомой скорости
Vcb - Vvf-hv$ 4- v\.
4.6. Выберем неинерциальную систему с началом в центре окружности. Так
как
v = vo- + I(r) г'] + у',
то
о2 = а2(c)2 + (r)2а2 4- и2 + 2vo- [(r) г'] + 2 vo-v' + 2 [ю г'] v'. Учитывая,
что
vo-I(r)г'] = w [r'vo-] = (r)2a2sin - t; vo-v' = (oausin -
a a
["r']v' = wfr'v'] = mau,
получим
о2 = а2ш2 -f (too + uf -f 2o) a (to а 4- u) sin -
й
4.7. a) Цилиндрические координаты.
Разложение радиуса-вектора по ортам пр, пф, пг цилиндрических координат
имеет вид
г = р Пр 4- 2Пг.
Следовательно,
v = г - р пр 4- Р lip 4- гп2 4- zn2.
Здесь
пр = [ы пр]; iiq> = [w пф]; п2 = О,
где ю=<рпг -угловая скорость триэдра пр, лф, nz относительно системы
отсчета п*, %, пг. Таким образом, получим
v = рпр 4" Рф Пф 4- кг;
SJI
Уравнения движения относительно неинерциальных систем
163
W = г = р пР + piip + (рф + рф) пф + рфПф +гпг =
= <Р -РФ2) Пр + - • -j- (р2Ф) пф + znz. р at
б) Сферические координаты.
Разложение радиус а-вектор а по ортам пг, Пв, Пф сферических координат
имеет вид
Г = ГПГ,
а угловая скорость & триэдра пг, Пе, пф относительно системы отсчета n*,
пу, nz равна ш = 0пф+фПг. Отсюда, учитывая, что
п2 - n,cos0- neski0,
получим
(r) =фСОВ0Пг - фsin 0П0 0Пф.
Поэтому
nr - [wnr] = One + ф sin 0пф; пе - [(r)ne] = - 0nr + Ф cos 0пф;
