Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
3)Ф, Ф)
¦ d!
sin 0
дРх
тг • I dQ, dQ = sin 0d0dcp.
0cos0 йф йф йcos0 I
В общем случае дифференциальное сечение зависит от полярного и
азимутального углов.
Если ввести азимутальный угол <р0 вектора q (p*=pcosqpo, Рз,=р sin (ро),
то da может быть представлено в виде
154
Задача двух тел и рассеяние частиц
[Гл. 3
da = pdpd<p0 = -^- I | d Q =
r sine | 0(0, Ф) I
dp Эф" __ JP_ _ ЭФ" Uq
5cos О дф дф dcosS
3.19. Сила, действующая на электрон в поле диполя, равна
F - - 'S/LI; U = e<р = е-^-.
Т9
Поэтому
д dr mv е дг г* ¦
Отсюда найдем изменение импульса в процессе рассеяния
_________ д Г (dp) dt d dp
Эр J [p* + о*{*]3^2 др p*o "
Затем получим
?-(d-M4=-----------------S-(d-2pJ^l.
(r) \ Э? / P tip* I pa J
Пусть ось z параллельна v, а вектор d параллелен оси x. Тогда
ed
qx = mv sin 0 cos <p =* - cos 2q>0; (1)
ed
q" = mv sin 6 sin tp ** -- sin 2q>0. (2)
Из (1), (2) находим, что
tg 2ф0 = - tg ф;
e d
tTIV Sid 0 ~ tnv 0 =
a pa
Следовательно,
dp 1 dp2___________I_ ap2 _ 1 ed
dcosQ 2 dcos0 20 d0 2 mv*0*
рЭф"
= 0; *-------L; JB- _ 0.
d cos 0 дф 2 дф
Таким образом,
da = --------
4 mv* 0* 8Г"0*
т. e. сечение не обладает азимутальной ассиметрией.
Сечеиия рассеяния и захвата частид
155
3.20, Используя уравнение движения заряда
mv= - [vH]; Н =g±-с г3
(g - "заряд" монополя), найдем изменение импульса при рассеянии
q _ _?IL fvpl Г _____?_____=
с 191 J [ра + оЧ(r)]3/2 ср*о '
-И
Следовательно,
mv sin 0 cos ф = -^-sln ф0;
Ф
mv sin 0 sin ф = -^-созфо-ф
Отсюда находим
р --i--; tg ф0 * -etg ф;
mcvv
dp ^_______1_ др 2eg . Зфр cos2 Фо ^ j. Ф q
3 cos 0 0 30 mcv 6(r) * Зф sin(r)9 * Зф
Следовательно,
do= f Jsq'-Lda.
\ mcv ) 0*
3.21. Передача импульса определяется соотношением (см. задачу 3.8)
Если juf fv, то рассеяния на малые углы не происходит. Если p,_Lv, то,
выбирая оси координат так, чтобы р=(р, 0, 0), найдем
mo sin 0 cos ф sin 2ф0;
mt" sin 0 sin ф = cos 2ф0.
ср*
Следовательно,
tg 2Ф. = - etg Ф; р> = ^ =-S-; f.
mcv 0 2 3 cos 0 mcv 0* Зф 2
Окончательно получим
da= -^-------------d&.
2mcv 0s
156
Задача двух тел и рассеяние частиц
(Гл. 3
3.22. Уравнение относительного движения заряда е массой т\ и монополя
заряда g массой т2 в системе их центра масс сводится к уравнению
где ц - приведенная масса. Из этого уравнения следует, что абсолютная
величина относительной скорости является интегралом движения.
После умножения обеих частей (1) слева векторно на г и простых
преобразований находим
Отсюда видно, что абсолютная величина кинетического момента
является интегралом движения.
Поскольку имеют место интегралы М = М0 и о = о0, траекторией p-точки в
плоскости, нормальной вектору М, является прямая. Расстояние этой прямой
от начала координат есть прицельный параметр р. Следовательно,
Чтобы определить движение вращающейся плоскости, нормальной к М, направим
ось г декартовых координат вдоль вектора J. В этом случае для
азимутального угла сферической системы координат имеем
ИГ =
с
Г
г
]
(1)
-аг^-
eg
С
г
г
г
(2)
Правую часть этого уравнения можно представить в виде
(3)
поэтому интегралом движения является также вектор
I - М -f S=plrr] - . -.
С г
(4)
Возводя (4) в квадрат, получим
/а = М2 + 5а.
(5)
М = |и[*тЦ
г2 = {vtf + р*.
§2]
Сечения рассеяния и захвата частиц
157
где угол ф определяется соотношением
s eg
М рпр с
и является половиной угла раствора конуса с осью, параллельной J, - на
этом конусе расположена траектория р-точки.
Интегрируя (6) по времени, находим полное изменение азимутального угла за
время рассеяния:
Ф"- ** - *
v рр с cos ф sin ф
Угол рассеяния 0т, как показывает геометрическое построение, связан с
углом q>oo соотношением
cos 0", -
¦ COS2 1)5 + sitl2 ф cos ~- j,
которое вместе с выражением
da (eg/p vcf sin ф/cos4 if
2 sin ф
Я
1 + cos (л/sin "ф) + - sin (л/sin if)
определяет дифференциальное сечение рассеяния (для малых углов сечение
аналогично сечению для кулонового взаимодействия с зарядами е и e'=gv(c).
3.23. Реакцию вызовут те протоны, которые, по крайней мере, касаются
сферической поверхности ядра. Наименьшее расстояние между протоном и
центром ядра определяется уравнением
Ее " Ее{[.
Полагая это расстояние равным радиусу R ядра, получим
т-, 1ег .
Е0 -
R ' 2mR*
Движение по такой траектории (rmm=R) характеризуется моментом импульса
протона
М0 = ртах /2МЕ0.
Следовательно,
р2 = ^2 _
rmax 4 >
а сечение реакции
'г'=г'л"(1-I:)
<ур = о при Е0 <
158
Задача двух тел и рассеяние частиц
[Гл. 3
Сечение реакции для нейтронов
ал = п /?а.
3.24. Потенциальная эффективная энергия
От (г)- X-
обладает максимумом при
1
/ па \л-2 Г* - [ 2Tjp ) '
а ее экстремальное значение равно
Для точечного тела захват реализуется при р < р0, для которого ^eff(ri.
Ро)<^; значение
2-п
Ро
П
-2
-•и-"*-*)" (жг)1'".
В этом случае UeU достигает максимума при
/ 2Т \ -1/я г. (Р.) - (п-2)>/" (-) •
Если i?< МРо), то сечение захвата
2-я
2/л
а = лра = яп(п- 2) * (-2^7)
Если же i?>ri(ро), то будут захвачены все частицы, для которых p<pi, где
