Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
гт ~ гт - Гт0 + vm0f. (3)
Введем далее радиусы-векторы т\ точек в системе центра масс:
r^r^ + r', (t = l, 2.........N). (4)
Тогда из (1) и (4) получим
т(Г|* = - km/i ?/п, + km{ ? m}t) =
I I
Сохранение импульса, момента и энергии системы
139
= - kmtr't т + km^Zmjr) = - km jnr'i,
так как ? m/t = 0. Следовательно,
1
r\ + kmr'i = 0 (i = 1, 2,... , N).
Решение каждого из этих уравнений имеет вид
ri = Ajcosotf + BjбШoof; a = Ykmt
где А,, В{ (i = 1, 2,, N) - постоянные интегрирования, удовлетворяющие
условиям
?/Я(Г' = 0; ?mtv(' = 0.
i i
Наконец, находим закон движения системы
I*. (0 = гто + + A, cos at -f BjSlti at (t = 1, 2 AO-
г.68. По условию задачи
m = m0e~kt.
Поэтому уравнение Мещерского принимает вид
г = - g+kut
где и - скорость истечения .газов. После интегрирования этого уравнения
закон движения ракеты может быть представлен в форме
(ku - g)~, 0<*<т;
- -^-+(йн - g)tx, f> т,
где x - время работы двигателя. Отсюда находим
z jku-g)*
max " т 2g
2.69. Согласно условию уравнение Мещерского имеет вид
m-yJ7T'T + Аям* М
где m.=m(t)\ Мз - масса Земли. Уравнение (1) приводит к интегралу
движения
±._JEa_te_C;
140
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
здесь начало координат совмещено с центром Земли, а ось г направлена
вдоль радиуса-вектора).
Так как
С = - - kuR
R
R - радиус Земли), то к концу активного участка траектории
г2
(za- координата положения ракеты, в котором двигатель прекращает работу).
Закон сохранения энергии на пассивном участке траектории приводит к
выражению
= Za -f- 2YM3 (J----------LV
\ Z za )
Из двух последних равенств находим
yM8R
^max -
уМ8 - kuR (za -R)
2.70. A= т2°ё
2c
2.71. Направим ось z по вертикали вверх и допустим, что скорость
конденсирующихся частиц относительно капли равна uz = -z, где z -
координата центра масс капли. Тогда уравнение
Мещерского дает mz=-mg-mz илиmz = - mg. Следова-
at
тельно,
t
mdt. (1)
Зависимость т (t) найдем из уравнения т = as. Поскольку
s = 4ягй. а т = рг3, то 3
по о/ч л 4"а / 3 \2/3
т~ ,
где р - плотность воды.
Интегрируя, находим
т = + т,3)ь. (2)
Теперь подставим (2) в (1) и получим
Сохранение импульса, момента и энергии системы
141
в частности, если т0 = 0, то
' st Z =-----
4
2.72. Максимальная высота подъема снаряда
ku-g
+ ' + si - ) ' (-fl-
""ж 8* ' ^ 1-sma j \ ku-g L
hu-g ku+g
/ 1 - sin a \ S_________g ' j / 1 - sin" \ S "I!
\ 1 + sin a / ku + g \ 1 + sin a ) J J *
2.74. Направляя ось x по прямой, соединяющей центр диска и шарйк, для
потенциальной энергии взаимодействия шарика и элемента dm массы диска
найдем
dU(x) - т nhdm - у l7hapdf>dV ; с т* Следовательно,
g 2Л
и М = ¦- у ^ \9* р U - - -Ззый- QTit + 2-х).
nR2 J J гЛх2 + ра R
О
Теперь используем закон сохранения полной энергии в системе центра масс
диска и шарика
0 __ 2ут1т2 (т/т JTJi _ А ^ 2ут1Шц .
Я4 'V 1 2 Я
здесь / - расстояние между шариком и центром диска в начальный момент
времени, и - относительная скорость шарика и диска в момент соударения.
Отсюда получим
°2 = + л**)
в частности, при I > i?
о2 да 2у (шх + т2) - у) •
2.75. Из закона сохранения горизонтальной составляющей импульса
/ИА + 0 = (ш! + ш2) о, где о - скорость тела 1 в момент остановки,
получим
142____________Законы изменения импульса, момента и
энергии____________[Гл. 2
Из закона изменения полной энергии системы
("*1 + гщ) V2- - = - ktriigs
" я
с учетом (1) находим искомое расстояние
т" tig
s =----------------------------------.
2kg (nt! + тг)
2.76. В силу симметрии начальных условий и центральности гравитационного
взаимодействия движение каждой из частиц описывается функциями Г1 =
Г2=Гз=г; 01 - 0; 0г=0+2я/3; 0з=0+4я/3. Учитывая это и используя закон
сохранения энергии системы
Зт " тг Ът 2 3vma
(Г + г 0 ) - Зу 7= о0-----------------------1-
2 ' 1 rVJ 2 а
и ее кинетического момента
3mr20 = 3т. ¦ v0 sin 30е,
находим
г2 Зут gi°0 , 2 Уз ут
a 12ra 3 г '
Отсюда, полагая г == 0, найдем границы движения:
Каждая из частиц движется по эллиптической орбите вокруг центра масс
системы.
2.77. Введем цилиндрические координаты с началом в отверстии и осью г,
направленной по вертикали вверх. Тогда закон сохранения энергии системы
имеет вид
-5L (р> + р V) + -f - р'а + rnj, (р - /) =
= -у- РоШ. + (Ро- 0•
Подставляя сюда <р го закона сохранения кинетического момента
Сохранение импульса, момента и энергии системы
143
и полагая р = 0 для р = рш,п и р =ртах, приходим к кубическому уравнению
р8-2ар9 + Ь = О,
где
1 ( , ЩРо 2\ и Рошоот1
2 \ 2пъ& / 2mag
Так как в начальный момент времени р=0, кубическое уравнение имеет корень
р=ро, в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Остальные два
корня р! и р2 определяются любой парой из следующих трех уравнений
(согласно теореме Виетта):
Pi ~ЬРа + ро - 2я;
-L + -L + -L = 0;
Рх Ра Ро Р0Р1Р2 = - Ь.
Любое из двух последних уравнений показывает, что кроме корня ро
существует только один положительный корень, например pi. Комбинируя
