Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
GH(x,x') = i <H I T(*fi(x)tfi(x')) \ H >, (10.2.4)
и называют вакуумом Хартля - Хокинга.
233
Если черная дыра вращается, то, как отмечалось в предыдущей главе, равновесная ситуация оказывается возможной только в случае, когда размер полости, внутри которой заключена черная дыра, достаточно мал. При этом, вообще говоря, оказывается важным выбор граничных условий для поля * на поверхности полости S. Обычно мы будем полагать, что
*\у =0. (10.2.5)
Соответствующему граничному условию должна удовлетворять и функция Грина
Сн(*,*')|я6?=0. (10.2.6)
В том случае, когда роль ограничивающей поверхности S важна, вместо
I H > будем использовать обозначение | Н, S >, а вместо Gh - Gh ? .
Как показали Хартль и Хокинг (1976), функция Грина (так же, как и ^н, е) обладает особыми аналитическими свойствами. Чтобы описать эти свойства, заметим, что если в выражении для элемента длины (4.2.1) в геометрии Керра произвести замену
t--h, a = ib, (10.2.7)
то возникающая метрика будет иметь сигнатуру + + + +. Более того, оказывается [Хареть, Хокинг (1976), Хокинг (1981)], что эта метрика является всюду регулярной (включая и поверхность г =гЕ=М+\[мг + Ь2, отвечающую аналитическому продолжению поверхности горизонта событий), если только координата г - циклическая с периодом, равным 2я/ке (кЕ = к I f ). Регулярное пространство, обладающее подобной
метрикой, получило название евклидовой черной дыры. Результат, полученный Хартлем и Хокингом (1976), состоит в том, что функция Грина GE(x, х'), возникающая при аналитическом продолжении (10.2.7) функции Gh (х, х'):
Gh (*, х')= [/Ge(*,*')] T = /f , (10.2.8)
Ь~ ia
является симметричным решением уравнения S (х, X ’)
DeGe(X1X)=---------—— (10.2.9)
E
в пространстве евклидовой черной дыры, убывающим на бесконечности и регулярным на поверхности евклидова горизонта. (Здесь ПЕ = ? | . .
а - ib
gE ~g I _ _ /т.) Этот результат позволяет использовать для построения
а - ib
GH(x, х') следующий прием: сначала находят евклидову функцию Грина Gji, а затем с помощью аналитического продолжения (10.2.8) попучают Gh. Этот прием, во многом аналогичный процедуре виковского поворота и перехода к евклидовой формулировке, используемой в квантовой теории поля в плоском пространстве-времени, часто позволяет существенно облегчить задачу вычисления Gh.
234
Обсудим кратко еще один, используемый при описании квантовых эффектов в черных дырах выбор состояния, предложенный Бульваром (1975а, Ь, 1976). Это состояние, обозначаемое | В), получило название вакуума Бульвара. Рассмотрим ситуацию, когда имеется невращающееся сферическое тело массы M с радиусом R0, слегка превышающим гравитационный радиус rg этого тела. Поскольку в таком статическом простран-стве-времени соответствующее векторное поле Киллинга Sf1) Sfj = Э, везде времениподобно, то любые частицы обладают положительной энергией и рождение частиц невозможно. Соответствующее вакуумное состояние I В; R0) является устойчивым, а отвечающая ему функция Грина Gq. Ro(х, х') удовлетворяет следующим граничным условиям: при фиксированном значении х' она является отрицательно-частотной функцией v при х на .7" и положительно-частотной функцией и при х на J *. Определим функцию Грина
GB(x,x') = /<B|r(?(x)?(x’))|B> (10.2.10)
как решение уравнения DGb(х, х) = —S(x, x')j\/~^g в пространстве-времени вечной черной дыры, удовлетворяющее приведенным выше граничным условиям.
Для невращающейся черной дыры функцию Грина Gb можно рассматривать в некотором смысле как предел GB. при R0 ~*rg. Очевидно, что физическая реализация статической системы, размер которой сколь угодно близок к гравитационному радиусу, не представляется возможной. Частицы поверхности такого тела в этом пределе должны обладать бесконечно большим ускорением и требуют дня их удержания бесконечно больших сил. В соответствии с этим функция Грина Gb, имеющая простое регулярное поведение вдали от черной дыры и отвечающая отсутствию квантового излучения на J +, имеет ’’плохое” аналитическое поведение вблизи горизонта событий, а отвечающие ей перенормированные значения <В|Гмг|В) и (В |^21 В> расходятся на Н* и Я".
Хотя описанные выше состояние и функции Грина были определены лишь для скалярного безмассового поля, распространение этих определений на общий случай не представляет затруднений.
§ 10.3. < T$)ten и <i^2>ren в пространстве-времени черной дыры
Для вычисления перенормированного значения тензора энергии — импульса требуется знание функции Грина G(x,x') при значениях ее аргументов л-и х‘, близких друг к другу. Это, однако, еще ни в коей мере не означает, что граничные условия, налагаемые на функцию Грина вдали от интересующей нас точки, не влияют на поведение G (х, *') в пределе совпадающих точек *). Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что функция Грина определяется уравнением с точностью до решения однородного уравнения, которое однозначно фиксируется как раз граничными условиями.
*) Заметим, что в римановом пространстве для метрики с евклидовой сигнатурой функция Грина массивного поля экспоненциально быстро спадает с увеличением расстояния между точками х и /. Если эти точки находятся далеко от границы, то влияние граничных условий для этих полей действительно пренебрежимо мало.
