Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку для безмассовых полей отсутствует связанный с полем параметр размерности длины, то в однопетлевом приближении возможный
произвол в < Tiiv )геп должен описываться выражением, являющимся суммой членов, квадратичных по кривизне, и членов, линейных по ее вторым производным. Поскольку сконструировать подобный симметричный сохра-
При использовании диаграммной техники в квантовой теории для вычисления рассматриваемых средних описанное разложение по h совпадает с разложением по числу замкнутых петель, которые встречаются в соответствующих пиягряммях Члены порядка fi0 описываются диаграммами, не содержащими петель ("древесное” приближение), ah1- диаграммами, содержащими одну петлю (’’однопетлевое” приближение)-.
229
няющийся тензор второго ранга только из тензора Вейля невозможно, то для безмассовых полей на фоне метрики, удовлетворяющей вакуумным уравнениям Эйнштейна (Riiv = 0), указанный выше произвол в определении < Tiiv >геп в однопетлевом приближении отсутствует.
Для классического конформно-инвариантного поля Ttlil =0. Важным отличительным свойством < Tiiv >геп является то, что след этой величины для конформно-инвариантно го поля уже не обращается в нуль (это явление известно как конформная аномалия). Величина < Г^)геп не зависит от выбора состояния, по которому производится усреднение Tilv. Для скалярного конформно-инвариантного (х =0), спинорного двухкомпонентного (х = 1/2) безмассовых полей и для электромагнитного поля (х = 1) вели-
. _ M .геп
чина < T > записывается в виде * >
< т? >геп = в, (са(3т6 Ca0yb+ J QR j + M^WRal3yb - 4RaliR ali +R2),
(10.1.3)
где
" bs
^s =-----г. t’s =
576071і 5760 я
д0 = 3, Ді/2=9. 2j = 36. (10.1.4)
11
b0----I, bl j2 — . b! 62.
Для практических вычислений < Tiiv )ren в гравитационном поле черных дыр наиболее часто используют метод раздвижения точек. Он состоит в следующем. Поскольку Tiiv билинейно зависит от поля, можно формально ввести обобщение величины Tiiv на случай, когда аргументы у каждого из полей отличны друг от друга (’’раздвинуть точки”). В классической теории Tiiv(X) возникает как предел соответствующего выражения ТЦ1,'(х,х') при х' =х. В квантовой теории при вычислении среднего значения оператора
A f Л і
TiiviIxl х ) в рассматриваемом состоянии Tilv^xt х’) = < Тци'(х, х )> простой переход к пределу х' -+X невозможен из-за возникновения расходимости. Поэтому до перехода к пределу ’’подправляют” (перенормируют) величину Tiiv^x, х'), вычитая из нее некоторое стандартное выражение
„dlv , ,ч _ ~div
Tjiv, (X, X ). Для каждого из полей вычисление Tjiv, достаточно провести
*) Приведенные значения коэффициентов as и bs получены Даффом (1977) методом размерной регуляризации. При использовании других методов в случае электромагнитного поля возможно появление дополнительных членов вида ?/?. Заметим, что в метриках, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна (Riiv = 0), эта неоднозначность отсутствует, и мы имеем
<T»)ren=(as + bs) Ca0yft Ca0y6.
Значения коэффициентов Qs и bs для четырехкомпонентного безмассового фермион-ного поля вдвое больше приведенных в (10.1.4).
230
один раз. Соответствующие выражения для в случае скалярного, спи-
норного безмассовых полей и электромагнитного поля получены Кристенсеном (1978).
При вычислении матричных элементов < Ф I Tfiv(X) | Ф >геп тензора энер-гии-импульса поля vA для выбранных состояний |Ф> и I xIO удобно использовать функцию Грина
(10.1.5)
^ <* I Ф >
Здесь символ T обозначает операцию Г-произведения
T(vA (х)$В'(х')) = в(х,х')(рА(х)(рв,(х’) + 9(хх)^в,(х')(рА(х), (10.1.6)
где в(х, х') — ступенчатая функция, равная 1, если х лежит в будущем по отношению к Xі, и равная 0 в противном случае. Нетрудно убедиться, используя коммутационные соотношения (9.2.5), что функция Грина(10.1.5) для поля vA, описываемого уравнением (9.2.2), удовлетворяет следующему уравнению:
Da cGcb' (х, х’)=-§?¦ S4 (х-х’), (10.1.7)
где /54(х - x')d4x = I. С этой функцией Грина связана так называемая функция Адамара *)
„(I), Ч <ф1^(*)?в'(*,> + ?в,(*’)м*)1ф> „п,оч
6,я(х, х )=--------------------------------------(10.1.8)
<Ф|Ф>
Значение тензора энергии-импульса в раздвинутых точках записывается в виде j
Т^(х,х')=~ Т А/(х,х')С(Л(х,х'), (10.1.9)
A Bt *
где T , (х, х') — дифференциальный оператор по переменным х и х' та-
а В'
кой, что для классического поля tP А(х) величина Tfiv, (л, Х){РА(Х)ФВ>(Х)
А В}
совпадает с Tfiul(X) . Явный вид операторов Tfiv, для полей различных спинов приведен в работе Кристенсена (1978).
Часто наряду с < Tfiv >геп рассматривают величины вида (ф2л >геп, описывающие флуктуации поля Va • В случае скалярного поля v величина
< V2 >ГЄП в поле черных дыр исследовалась в связи с вопросом о возможности фазовых переходов вблизи них. Эти переходы состоят в появлении
< v(x)) Ф 0 [Хокинг (1981), Фосетт, Уайтинг (1982), Мосс (1984)]. В гравитационном поле, описываемом вакуумными уравнениями Эйнштей-
/ і \ геп
