Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
верхности бифуркации горизонтов). Антисимметричные тензоры ?(*>)м; «'It =п и tjM; f і -п - невырожденные **). Очевидно, что по-
I ? (i^) и ’ J 17 — О
люсные (0 = 0 и 0 = и) точки X0 поверхности S остаются неподвижными при сдвигах как по t, так и по V-
Если потребовать, чтобы в выбранном состоянии (Tv) обладало теми же свойствами симметрии, что и фоновое физическое пространство-время, то эта величина должна удовлетворять уравнению
А < Tllv ) = Xа ( Ttiv ).а +;м (Tctv) + Xа (Ttla) = 0, (10.3.21)
где X - векторное поле Киллинга, а ? j - производная Ли вдоль него. В точках, где X “ = 0, эти уравнения принимают вид ограничений на алгебраическую структуру < Ttiv ) . Решая эти уравнения, можно показать [Фролов, Зельников (1985b)] ,что подобный регулярный вакуумный тензор энергии-импульса в точке полюса X0 поверхности S имеет следующий вид:
< Ttlv) = Aiku Iv +I11 kv)+ Btyill inм +Шд/я„). (10.3.22)
ЗдесьZa = (к,1,т, т ) - векторы комплексной световой тетрада:
P2
ка dxa = - dt +------dr + a sin20 dy,
А
*) Отметим в этой связи, что в двумерном пространстве-времени конформная аномалия имеет вид
< Jtl ) = ^s- R,
24 я
где R - скалярная кривизна, a Cj - коэффициент, зависящий от спина s поля (C0 = 1). Полный тензор энергии-импульса ( Tv) определяется своим следом с точностью до двух функций от одной переменной, отвечающих произволу в выборе граничных условий [Кристенсен, Фуллинг (1977)]. Это обстоятельство позволяет точно вычислять ( Tv) в различных двумерных моделях, имитирующих черную дыру [по этому поводу CM. Девис (1976), Девис идр. (1976), Унру (1977), Фуллинг (1977b), Хискок (1977), Фролов, Вилковыский (1983), Бальбинот, Браун (1984), Бальби-нот (1984а), Курода (1984а), Биррел, Девис (1982)].
**)Обсуждениеобшихсвойствповерхностей, образованных точками, неподвижными под действием группы симметрий, можно найти в работе Бойера (1969); см. гакже Миллер (1979).
16* 243
I01 dxa =
і P2 \
-1-е??-—— dr + a sin 0 dipj,
, dxa = (madxa ) I
[—/a sin 0 dt + pdd + i(r2 + a )sin0 d^p].
\/2(r + ia cos 0)
Иными словами, этот тензор определяется двумя константами А и В, причем их разность фиксируется величиной конформных аномалий:
2(5 - А) = < Г Л > = (as + bs)Cai3lS . (10.3.24)
В случае сферически-симметричной черной дыры в качестве *0 может быть выбрана любая точка поверхности S. При этом отличные от нуля компоненты тензора энергии-импульса имеют вид
Ttf=T'=-А, Tee=T*= В. (10.3.25)
Из непрерывности ( Ttlv) и свойства инвариантности (10.3.21) следует, что < Ttiv ) имеет вид, аналогичный (10.3.22) на полюсе горизонта событий и вне поверхности S.
Другим обстоятельством, которое также приводит к существенному упрощению задачи вычисления < > и< Tv) на горизонте событий, яв-
ляется следующее. Пусть П (х, дс') — любой бискаляр (например, функция Грина Gh (*>*) скалярного поля), обладающий теми же свойствами симметрии, что и фоновое пространство-время. Тогда
¦?|П(х, х') + JCf' П(х, де1) =
+г° (10'3'26, Здесь (?j’) - производная Ли вдоль векторного поля Киллинга ? по первому (второму) аргументу. Если точки х и х' не совпадают с осью вращения и не лежат на поверхности 5, то уравнение (10.3.26) показывает, что бискаляр П(дс,л:') зависит от разностей t — t' н у — . Если же точка
л-'лежит на полюсе поверхности S, то функция П (х, X0) вообще не зависит ни от t, ни от tp.
Это, в частности, приводит к тому, что волновое уравнение, которому подчиняется функция -/Gh (х, *0), существенно упрощается и допускает точное решение. В координатах R =A1/2 sin 0, z = (г -М) cos0 это уравнение принимает вид
V Эк(ЯЭЛ) + Э2 (-/Gh (Л, г;дс0))=-7-7—S(R)S(Z-Z0),
R ___________ 4” R (10.3.27)
где Z0 = \JM1 — а2. Заметим, что решение этого уравнения совпадает с потенциалом поля точечного заряда е =к/8тт2, помещенного в точке z =Z0 на оси дс = >’ =0 (R2 =X2 + .V2) в плоском пространстве. Используя это решение, находим
(х, *о) = -J- -----------------Т, ¦ (10.3.28)
8it (г -Af-VM - a cos0)
244
Вычитая из этого выражения расходящуюся часть [см. (10.1.10)] и устремляя х к х0, получаем для величины < у2 (л:0) )н на полюсе горизонта событий следующее значение [Фролов (1982, 1983)] *):
1 г\-Ъа2
< 1P (*0) = ~7Г 2 ТТТТл ' (10.3.29)
48 л-2 (г і+а2 )2
(при я = 0 это выражение было получено Канделасом (1980) путем суммирования ряда для представления функции Грина.)
Фролов и Зельников (1985b) аналогичным методом вычислили величину < Ttf (х0) > н Для электромагнитного поля. Коэффициенты А и В в выражении (10.3.22) получили следующие значения:
A= -------T--T-T [-15М3- 195М2(М2 -а2)1'2 + 292(М2 - а2)3'2],
19207Г 2Ma rl V ’ V J '
(10.3.30)
s= ------1 [—15M3 - WlM2 (M2 - a2)1'2 + 188(M2 -a2)3'2].
1920тт2М*г% \ \ j i
При a = 0 эти выражения воспроизводят результат, полученный Эльстером (1984) путем суммирования рядов.
Отметим одно любопытное свойство выражения (10.3.29). Нетрудно убедиться, что его можно переписать в виде
1
<*2(*о)>н = —T К, (10.3.31)
