Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
235
В теории массивного (с массой т) поля, когда характерный радиус кривизны пространства-времени L значительно превосходит комптонов-скую длину X = h/тс, можно использовать разложение по малому параметру є - (\/Ь)2, чтобы получить равномерное приближение для функции Грина. В случае безмассового поля такой параметр отсутствует. Поскольку волновые уравнения для безмассовых полей в метрике Керра допускают разделение переменных, то естественный метод изучения функций Грина для таких полей состоит в представлении их в виде разложений по собственным модам [Канделас( 1980), Канделас и др. (1981) ].
Приведем в качестве примера представление для функций Адамара скалярного безмассового поля в метрике вращающейся черной дыры*). Удобно в качестве базисных решений уравнения D^ = O в пространстве-времени вечной черной дыры выбрать систему решений удов-
летворяющих следующим граничным условиям. Функции Vujlm обращаются в нуль на Я", а на У имеют образ Vwlm, описываемый выражением (9.4,5). Образ X0Jim на'Г равен нулю, а на Н~ эти функции принимают значения „-110»
УIm (в,*)•
(10.3.1)
V 47ГСо(г2 + а2)
В случае, если черная дыра окружена зеркальной оболочкой, уравнение которой г = г0 (<р\г = 0), в качестве соответствующих базисных функций выбирают решения кЫ1,„, которые на Я" имеют значения, совпадающие с
V Uiim I н- [формула (10.3.1)], а на оболочке обращаются в нуль: к^,Ьп U0=O. Если коллективный индекс со/m обозначить через J и ввести обозначения Vj (а-..y') = Vj (X) Vj (х' ) + U7 (X) Vj (Х ),
(10.3.2)
'J
(х. X ’) = У J (X) уJ (х’) + Vj (х) у J (*') ,
к J (х ,У) = к J (х) к J (х') + к J (х) kj (х),
то функции Адамара , отвечающие различным выборам состояний, записываются следующим образом:
вакуумных
GU) ° и
(х. х’) =
Б
т
/с/сои (х,х') + / c/cocth----------------у (х,х)
О Slm К
С<‘>(х,х') =
Я CO , “ Tl CO
/Jcocth----------и(х,х) + / dсо cth----------------- У,(х,
К J SI т К
*')J,
(10.3.3)
G’^(x.x') = Б [/с/со и,(х,х’) + / dCO Vj (х.х')], » — л т
1,т О
G^](х,х’)= Б / с/ со cth--------к(х,х).
’ п l,m Uf?/ К
Аналогичные представления для функций Грина для электромагнитного поля и гравитационных возмущений приведены в работе Канделаса и др.
(1981) ; относительно функций Грина скалярного поля см.также Канделас (1980) , Фролов (1986*) .
*) Приводимые ниже формулы справедливы и для заряженной черной дыры.
236
Заметам, что поскольку расходимости, удаляемые в процессе перенормировки, имеют универсальный вид, значение разностей любой пары функций (10.3.3) в пределе совпадающих точек остается конечным. Для этих конечных разностей имеем, в частности,
* ^wIur(X)I2
< UI ^2 (х) IU > — < HI * (х) IH) = — 2 2 J -- , (10.3.4)
/,mo _ 1
< ВIV?2 (х) I В) — < HIV?2 (х) IH > =
= -2 Б
1,т
°° ofco I U (X)I2 ~ OfCOlJr(X)I2
/ -—------------ + / —
О e“/fl _ 1 Пт е^1в _ 1
(10.3.5)
где в = к/2тг — температура черной дыры.
Представления вида (10.3.3) для функций Грина позволяют проанализировать поведение <*2>геп и <Tpren вблизи Ht и Jt. В частности, можно показать, что значения этих величин вблизи Wir при усреднении по вакууму Бульвара расходятся. Их асимптотики вблизи шварцшильдовской черной дыры в координатах t, г, в, имеют вид [Канделас (1980), Канделас и др. (1981), Шьяма и др. (1981)] *)
<*2(г)>в~(г-^)'‘, (10.3.6)
X
(I -rglr)'
00 dсо(со2 +S2K2) / I I 1 \
xL.w»-(-n^ diT1-T-т-і} (,й37)
Здесь и далее diag (а, Ь, с, d) обозначает диагональную матрицу с элементами, равными а, Ь, с и d на диагонали, a Iis - число поляризаций поля спина х.
Причина подобного сингулярного поведения величин, характеризующих поляризацию вакуума в этом состоянии, состоит в том, что само состояние отвечает, как это отмечалось выше, физически нереализуемой ситуации.
К сожалению, просуммировать ряды, отвечающие <*2)гепи <TfivYen и получаемые после перенормировки из соответствующих рядов вида
(10.3.3) для функций Грина, и найти явные конечные выражения для этих величин в общем случае не удается **). Поэтому для получения результатов либо используют машинные методы, либо развивают методы приближенного суммирования рядов. В выполненных к настоящему времени работах ограничивались рассмотрением случая, когда черная дыра не вращается.
Прежде чем перейти к изложению результатов этих работ, отметим, что свойства симметрии связанные с симметриями фонового шварцшиль-
*)В этих формулах (и далее) мы опускаем индекс ”геп” у величин <^2)геп и <7-{Уеп, поскольку будем иметь дело лишь с перенормированными значениями этих величин. Нижний символ, стоящий у скобок, указывает на то вакуумное состояние, по которому производится усреднение. Так, (>в обозначает (Bl^2I В )геп.
**) К числу важных исключений, для которых возможно получение точных значений <ip2)ten и ( TtivSen, относятся случаи, когда рассматриваемая точка лежит на горизонте событий. На этих случаях мы остановимся ниже.
237
довского гравитационного поля, и закон сохранения <Г^>;М, которому эта величина удовлетворяет, резко ограничивают число ее независимых компонент. А именно, как показали Кристенсен и Фуллинг (1977), всякий сохраняющийся (Tu) в пространстве-времени невращающейся черной дыры допускает следующее представление: