Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Новиков И.Д. -> "Физика черных дыр" -> 102

Физика черных дыр - Новиков И.Д.

Новиков И.Д. Физика черных дыр — М.: Наука, 1986. — 328 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 144 >> Следующая


235
В теории массивного (с массой т) поля, когда характерный радиус кривизны пространства-времени L значительно превосходит комптонов-скую длину X = h/тс, можно использовать разложение по малому параметру є - (\/Ь)2, чтобы получить равномерное приближение для функции Грина. В случае безмассового поля такой параметр отсутствует. Поскольку волновые уравнения для безмассовых полей в метрике Керра допускают разделение переменных, то естественный метод изучения функций Грина для таких полей состоит в представлении их в виде разложений по собственным модам [Канделас( 1980), Канделас и др. (1981) ].

Приведем в качестве примера представление для функций Адамара скалярного безмассового поля в метрике вращающейся черной дыры*). Удобно в качестве базисных решений уравнения D^ = O в пространстве-времени вечной черной дыры выбрать систему решений удов-

летворяющих следующим граничным условиям. Функции Vujlm обращаются в нуль на Я", а на У имеют образ Vwlm, описываемый выражением (9.4,5). Образ X0Jim на'Г равен нулю, а на Н~ эти функции принимают значения „-110»

УIm (в,*)•

(10.3.1)

V 47ГСо(г2 + а2)

В случае, если черная дыра окружена зеркальной оболочкой, уравнение которой г = г0 (<р\г = 0), в качестве соответствующих базисных функций выбирают решения кЫ1,„, которые на Я" имеют значения, совпадающие с

V Uiim I н- [формула (10.3.1)], а на оболочке обращаются в нуль: к^,Ьп U0=O. Если коллективный индекс со/m обозначить через J и ввести обозначения Vj (а-..y') = Vj (X) Vj (х' ) + U7 (X) Vj (Х ),

(10.3.2)

'J

(х. X ’) = У J (X) уJ (х’) + Vj (х) у J (*') ,

к J (х ,У) = к J (х) к J (х') + к J (х) kj (х),

то функции Адамара , отвечающие различным выборам состояний, записываются следующим образом:

вакуумных

GU) ° и

(х. х’) =

Б

т

/с/сои (х,х') + / c/cocth----------------у (х,х)

О Slm К

С<‘>(х,х') =

Я CO , “ Tl CO

/Jcocth----------и(х,х) + / dсо cth----------------- У,(х,

К J SI т К

*')J,

(10.3.3)

G’^(x.x') = Б [/с/со и,(х,х’) + / dCO Vj (х.х')], » — л т

1,т О

G^](х,х’)= Б / с/ со cth--------к(х,х).

’ п l,m Uf?/ К

Аналогичные представления для функций Грина для электромагнитного поля и гравитационных возмущений приведены в работе Канделаса и др.

(1981) ; относительно функций Грина скалярного поля см.также Канделас (1980) , Фролов (1986*) .

*) Приводимые ниже формулы справедливы и для заряженной черной дыры.

236
Заметам, что поскольку расходимости, удаляемые в процессе перенормировки, имеют универсальный вид, значение разностей любой пары функций (10.3.3) в пределе совпадающих точек остается конечным. Для этих конечных разностей имеем, в частности,

* ^wIur(X)I2

< UI ^2 (х) IU > — < HI * (х) IH) = — 2 2 J -- , (10.3.4)

/,mo _ 1

< ВIV?2 (х) I В) — < HIV?2 (х) IH > =

= -2 Б

1,т

°° ofco I U (X)I2 ~ OfCOlJr(X)I2

/ -—------------ + / —

О e“/fl _ 1 Пт е^1в _ 1

(10.3.5)

где в = к/2тг — температура черной дыры.

Представления вида (10.3.3) для функций Грина позволяют проанализировать поведение <*2>геп и <Tpren вблизи Ht и Jt. В частности, можно показать, что значения этих величин вблизи Wir при усреднении по вакууму Бульвара расходятся. Их асимптотики вблизи шварцшильдовской черной дыры в координатах t, г, в, имеют вид [Канделас (1980), Канделас и др. (1981), Шьяма и др. (1981)] *)

<*2(г)>в~(г-^)'‘, (10.3.6)

X

(I -rglr)'

00 dсо(со2 +S2K2) / I I 1 \

xL.w»-(-n^ diT1-T-т-і} (,й37)

Здесь и далее diag (а, Ь, с, d) обозначает диагональную матрицу с элементами, равными а, Ь, с и d на диагонали, a Iis - число поляризаций поля спина х.

Причина подобного сингулярного поведения величин, характеризующих поляризацию вакуума в этом состоянии, состоит в том, что само состояние отвечает, как это отмечалось выше, физически нереализуемой ситуации.

К сожалению, просуммировать ряды, отвечающие <*2)гепи <TfivYen и получаемые после перенормировки из соответствующих рядов вида

(10.3.3) для функций Грина, и найти явные конечные выражения для этих величин в общем случае не удается **). Поэтому для получения результатов либо используют машинные методы, либо развивают методы приближенного суммирования рядов. В выполненных к настоящему времени работах ограничивались рассмотрением случая, когда черная дыра не вращается.

Прежде чем перейти к изложению результатов этих работ, отметим, что свойства симметрии связанные с симметриями фонового шварцшиль-

*)В этих формулах (и далее) мы опускаем индекс ”геп” у величин <^2)геп и <7-{Уеп, поскольку будем иметь дело лишь с перенормированными значениями этих величин. Нижний символ, стоящий у скобок, указывает на то вакуумное состояние, по которому производится усреднение. Так, (>в обозначает (Bl^2I В )геп.

**) К числу важных исключений, для которых возможно получение точных значений <ip2)ten и ( TtivSen, относятся случаи, когда рассматриваемая точка лежит на горизонте событий. На этих случаях мы остановимся ниже.

237
довского гравитационного поля, и закон сохранения <Г^>;М, которому эта величина удовлетворяет, резко ограничивают число ее независимых компонент. А именно, как показали Кристенсен и Фуллинг (1977), всякий сохраняющийся (Tu) в пространстве-времени невращающейся черной дыры допускает следующее представление:
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed