Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
I 1 — ~4
</>н = (10.3.12)
7687Г M I - z
240
где z = 2М/r, Исходя из этого, Пэйдж (1982) предложил метод приближенного вычисления <1^2>н и (Tu)h. Для (<р2)н получаемое в приближении Пэйджа значение (<р2)^ совпадает с (10,3,12). Канделас, Ховард (1984), Ховард, Канделас (1984), Ховард (1984) показали, что вычисляемые в рамках приближения Пэйджа величины <^2>н и (Tu )н весьма точно воспроизводят истинное поведение <1^2>н и (Т%) H (для (<рг >н отличие от истинного значения <^2>н не превышает 1%, для компонент <Г^)^ это отклонение не превосходит 20%),
Исходными для построения приближения Пэйджа являются два положения:
1) Пусть имеются два конформных пространства и пусть в каждом из них производится вычисление перенормированных средних <iр2) и <Г?> для состояний, получаемых друг из друга с помощью того же конформного преобразования. Тогда следующие комбинации, содержащие (^p2) и (Т%), являются инвариантными (т.е. не зависят от того, в каком из конформных пространств они вычислены):
Сар-уь - тензор Вейля (П.4),Ла(3 - тензор Риччи (П.З), R - скалярная кривизна, а коэффициенты Ctj, и ys связаны с коэффициентами as и bs, входящими в выражение для конформных аномалий (10,1.3), соотношениями
является статическим решением вакуумных уравнений Эйнштейна (V2 = = -?(/) (г). ?*(г) - векторное поле Киллинга). Тогда в пространстве
с метрикой ds2 = V~2ds2 отсутствуют конформные аномалии (т.е. выражения в скобках в правой части (10.1.3), вычисленные в этом пространстве, тождественно обращаются в нуль).
Пэйдж предложил проведать вычисления (у2) и (Tu) сначала в пространстве ds2, используя для функции Грина в нем решение, полученное с помощью ВКБ-приближения, а затем, принимая во внимание инвариантность величин (10.3.13) и (10.3.14), вернуться в исходное физическое
гд<
(10.3.13)
(10.3.14)
(10.3.15)
(10.3.16)
2) Пусть метрика
ds2 = - V2 dt2 + hj/dx'dx1
(10.3.17)
16.И.Д. Новиков
241
пространство. При этом для скалярного безмассового поля в метрике Шварцшильда для величины <*2>н получается выражение (10.3.12), а для < Т$ >н - следующее приближенное выражение:
где в = (87тЛ/)_| - температура черной дыры. Поведение отличных от нуля компонент < >н изображено нарис. 82 (штрих-пунктирная линия). Это приближенное выражение было использовано в работе Йорка (1985) для исследования обратного влияния поляризации вакуума на гравитационное поле черной дыры.
Метод Пэйджа можно использовать также для нахождения приближенных значений <*2> и <Г{!> в вакууме Бульвара. Вычисления дают [Фролов, Зельников (1985а)]
Выражения (10.3.19)-(10.3.20) согласуются с асимптотиками (10.3.6)-(10.3.7) вблизи горизонта событий и имеют правильную асимптотику на бесконечности. По-видимому, точность, с которой (10.3.19) и (10.3.20) воспроизводят точные значения <*2>в и <Г{(>в, того же порядка,-что и в случае хартль-хокинговского вакуума.
В работе Брауна и Оттевилла (1985) предложен несколько иной метод вычисления (ф2) и <Г?> для конформно-инвариантных полей, который в случае скалярного поля приводит к тем же выражениям (10.3.12), (10.3.18)-(10.3.20), что и приближении Пэйджа. Браун и Оттевилл обратили внимание на то, что конформные аномалии исчезают не только в пространствах с метрикой ds2 = V~2ds2, но и в более широком классе пространств, для которых метрики имеют вид dJ2=exp(at) V~2ds2. Если потребовать, чтобы в пространстве ds2 состояние было выбрано .так, что исчезают не только след (<Г?> = 0), но и остальные компоненты
< Ttf), то после возвращения в исходное физическое пространство получается вполне определенное значение < Ttf ). Браун и Оттевилл показали,
этого подхода можно получить также аналогичные приближенные выражения для вкладов нейтринного и электромагнитного полей в < Ttf ).
Результаты Пэйджа и Брауна, Оттевилла, по-видимому, указывают на то, что основной вклад в вакуумный тензор энергии-импульса для конформно-инвариантных полей в поле черной дыры дают конформные ано-
(5{!-45?5«) + 24-’6(35?5«+5?51,) _
(10.3.18)
(10.3.19)
(10.3.20)
что при а = 0 полученное таким образом выражение совпадает с < Ttf )^, а при а = -2к =-(2M)'1 — правильно воспроизводит < Г{? В рамках
242
малии, и если учесть их, то возникающий тензор энергии-импульса достаточно хорошо воспроизводит точное значение < Т„) *).
Как уже упоминалось выше, в ряде случаев, когда рассматриваемая точка лежит на горизонте событий, удается точно вычислить значения
< V2 > и< ). Этот замечательный факт связан с особыми геометрическими свойствами пространства-времени вблизи горизонта событий. Остановимся более подробно на этих свойствах.
Метрика Керра обладает симметриями относительно сдвигов по времени t и вращений по V- Пусть ? (f) и ? (^) — соответствующие векторные поля Киллинга, а V - k{t) + (*>) - их линейная комбинация, которая
на горизонте является касательной к генераторам горизонта. Нетрудно убедиться, что ? обращается в нуль на оси симметрии (0 = 0, 0 = я),
а V — на двумерной поверхности S пересечения горизонтов Н~ и Н* (по-