Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
на, для перенормированного значения < v > имеет место следующее простое выражение:
< ip2(x)>ren = Iim [ -iG(x,x')----------------— , (10.1.10)
у L &-П2о(Х, X ) J
*) Если точки х и X1 разделены пространственноподобиым расстоянием, то ід(х) и $в,(х') коммутаруюти Gab.(x,x’) = -2i‘Gab,(x,x').
231
где о(л\ л') = — .S2(.Y, л'1), s(jc, х') интервал геодезического расстояния
между X и X . а стремление х' кх происходит вдоль пространственноподобного направления.
Таким образом, задача вычисления величин < Tfiv ) и < ^2 > ,несущих информацию о плотности энергии-импульса (связанной с поляризацией вакуума) и вакуумных флуктуациях, сводится к выполнению набора стандартных операций над функцией Грина (10.1.5). Тем самым решение задачи о поляризации вакуума в черных дырах сводится к получению решения уравнения (10.1.7) в заданной метрике, описывающей пространство-время черной дыры. При этом произволу в выборе состояния, по которому производится усреднение в (10.1.5), отвечает произвол в выборе граничных условий, однозначно фиксирующих ту или иную функцию Грина.
§ 10.2. Выбор состояний и граничные условия для функций Грина
Опишем теперь те состояния и отвечающие им граничные условия для функций Грина, которые наиболее часто фигурируют при рассмотрении квантовых эффектов в черных дырах*). Для простоты ограничимся рассмотрением скалярного безмассового поля.
Очевидный интерес представляет случай, когда черная дыра возникает в результате коллапса, а до ее образования квантовая система находилась в основном, вакуумном состоянии. Соответствующая функция Грина
Gin (.V. х ') = і (0\ in I Г(ір(.х) ?(*')) I 0; in >, (10.2.1)
являясь, как и все остальные функции Грина (10.1.5), симметричной, однозначно определяется тем свойством, что она в отдаленном прошлом (в ин-области) совпадает со свободной причинной функцией Грина в пространстве Минковского. Очевидно, что поведение Gin зависит, вообще говоря, от деталей коллапса, приводящего к образованию черной дыры. Это делает задачу нахождения Gin сложной и трудно поддающейся решению. Напомним, однако, что с течением времени черная дыра становится стационарной s*). На основании тех же аргументов, которые использовались при доказательстве универсальности свойств хокинговского излучения в поздние времена, можно прийти к выводу, что Gin через достаточно большое время после возникновения черной дыры определяется лишь ее параметрами.
Для описания свойств этой ’’универсальной” функции Грина удобно использовать следующий прием. Рассмотрим пространство-время вечной черной дыры, обладающей теми же параметрами, что и возникающая стационарная черная дыра. Определим в ней функцию Грина Cv(x, х') как реше-
Общий анализ проблемы определения вакуума в пространстве-времени при наличии горизонтов можно найти в работах Фуллинга (1977а, Ь), Шьяма и др. (1981).
’^Точнее, почти стационарной, поскольку в результате квантового испарения ее параметры все же меняются*. Однако, как уже отмечалось, скорость этого изменения пренебрежимо мала до тех пор, пока масса черной дыры значительно превосходит планковскую.
Рис. 80. Диаграмма Пенроуза для вращающейся черной дыры. Стрелками указаны поверхности, ограничивающие область I, на которых задаются граничные условия для функций Грина, отвечающих вакуумным состояниям Хартля - Хокинга (I Н>), Унру (I U>) и Бульвара (I В>)
ние уравнения (10.1.7), совпадающее при поздних временах с асимптотикой Gin(x, х'), а в остальном пространстве-времени получаемую как ее аналитическое продолжение. Унру (1976b) показал, что в пространстве-времени вечной черной дыры для значений аргументов х, х', лежащих во внешней области или на горизонте событий, функция Грина Gи(jc, х') однозначно определяется следующими граничными условиями: при фиксированном значении х' в области I (рис. 80) эта функция является отрицательно-частотной по отношению к аффинному параметру Um Н~ для х на Н~т/і отрицательно-частотной по опережающему времени и на для х на Cf~. Соответствующее состояние I U), для которого
Gv(x,x') = і < UI Т($(х)I U >, (10.2.2)
получило название вакуума Унру.
Представляет интерес другой случай, когда черная дыра помещена в полость с чернотельным излучением и находится в равновесии с последним. Поскольку это состояние не является чистым и описывается матрицей плотности рд (9.5.45), то для соответствующей ему функции Грина Gh (jc, х') имеем
GH(x,x') = iSp [рв Г(?(х) ?(*'))]• (10.2.3)
Эту функцию Грина также можно аналитическим продолжением распространить на все пространство-время вечной черной дыры. При этом, как показали Хартль и Хокинг (1976), она удовлетворяет следующим граничным условиям: при фиксированном значении х' она является отрицательночастотной функцией по-отношению к аффинному параметру U для* на#-и положительно-частотной функцией по отношению к аффинному параметру V для * на Н* (см. рис. 80). Хотя это состояние не является ни чистым, ни вакуумным, для его обозначения используют символ I H >, сокращенно записывая (10.2.3) в виде
