Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
48эт
где К — гауссова кривизна двумерной поверхности черной дыры в точке ее полюса X0 . [Вычисление К на поверхности керровской черной дыры см. Смарр (1973b).] Выражение (10.3.31) справедливо и в случае, когда черная дыра помещена во внешнее статическое аксиально-симметричное гравитационное поле.
*) Этот же прием можно использовать для вычисления ( у2 ) н ¦ г в случае, когда черная дыра помещена во внешнее аксиально-симметричное статическое гравитационное поле [Фролов, Гарсиа (1983) j или окружена зеркальной оболочкой, описываемой уравнением г = гд (у і г = 0). В последнем случае задача сводится к нахождению поля внутри проводящего заземленного эллипсоида вращения, описываемого уравнением
R2 Z2
Д(г0) (г 0 -M)2
точечного заряда, notv
JHO
( >H;r0 = < f2 >Н - 8г„ < V2 > .
от точечного заряда, помещенного в его фокус. Соответствующее значение < <f2 > н • г равно ’ “
где
S г<*>г> =----------- 1(21 + 1)——.
8тг2(^+а) ;=0' p,(b)
Здесь b = (r0 - М) / (M2 - а2)1 ^2, а Р\ и Qi - функции Лежандра.
245
/ 2 . P
Нетрудно показать, что в приближении Пэйджа величина < ^ ) н на горизонте событий любой статической (в том числе и деформированной внешним полем) черной дыры может быть записана в виде (10.3.31). В этом же приближении величина є = — < Ttt) , характеризующая плотность энергии на поверхности черной дыры, описывается выражением [Фролов, Санчес (1985)]
е = - (Jas + 12bs)K2 + as К, (10.3.32)
где Д — двумерный лапласиан на поверхности черной дыры, a и bs — коэффициенты, входящие в выражение для конформных аномалий (10.1.3).
Для черных дыр с массой больше планковской вклад массивных полей в поляризацию вакуума значительно (на фактор є = (X/L )2, X= h/mc, L — характерный радиус кривизны) меньше вклада безмассовых полей. Имеется, однако, ряд причин, по которым изучение вклада массивных полей может представлять интерес. Прежде всего отметим, что при є ^ 1 удается разделить вклады реальных и виртуальных частиц в < Tjf ). Так, в состоянии хартль-хокинговского вакуума вклад реальных частиц тепловой бани в ( Tjf) н содержит экспоненциально малый фактор ехр(- (SGMm/hc), в то время как вклад виртуальных частиц зависит от Al степенным образом*). Эффект поляризации вакуума массивных полей допускает значительно более детальное изучение, поскольку имеется возможность использовать разложение по малому безразмерному параметру е. В том случае, когда фоновое гравитационное поле удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна, величина < T(f) н для массивных скалярного, спинорно-го и векторного полей в первом неисчезающем порядке по є может быть получена вариацией следующего эффективного действия [Фролов, Зельников (1984)]:
2 5 И*)
(Ttlv(X))W =-т= rwT ’ (10.3.33)
V —? Sg* (X)
где
И*') = (96 ¦ 7! тт2т 2Y1 fd*x (AsRae lSRlS R^ +
+ BsRRaejb Ra^). (10.3.34)
Здесь т — масса поля, а коэффициенты As и Bs для поля спина J равны соответственно
¦^4 о = I > ^ 1/2 = — 4, А 1=3,
Я0 = 18-84?, S1/2 = 12, 5,=-30
(? - коэффициент при члене Rip2 в действии для скалярного поля; при 1 = 1/6 и т= 0 поле конформно-инвариантно). Для шварцшильдовской
(10.3.35)
*) Поскольку значения ( Tjf) в различных ’’вакуумах” отличаются друг от друга вкладом реальных частиц теплового излучения, то ( Tjf }ц и ( Tjf >^ вблизи черной дыры практически совпадают с ( Tv )ц везде, за исключением экспоненциально узкой (~rg exp (—QGMmIb с)) полоски вблизи горизонта событий. Внутри полоски поведение этих величин различно: ( Tv)в расходится на H' и Н* , a ( Tv ) и - на Hоставаясь конечным на Н* .
246
Таблица
Литература Параметры поля Параметры черной дыры
масса т СПИН S угловой момент J заряд Q
Кристенсен, Фулпнні (1977) 0 0
Канделас (1980) 0 0 0 0
Канделас и пр. (1981) 0 1;2 sfcO 0
Фосетт, Уайтинг 0 Ь 0 0
(1982) Пэйдж (1982) 0 0 0 0
Нугаев (1982) 0 0; 1 0 0
Фролов (1982) 0 0 TtO TtO
Вычисления проводились Вакуумные СО-
на вне < > ( Примечания
горизонте (а) событий СТОЯНИЯ
'"Г ” — + + + Н,В, U Обший анализ
+ + + + Н, В, U Представления ДЛЯ О, < SP2 > и < ) в виде рядов. Вычисление (f2 >ни< >н на горизонте
+ + В Суммирование рядов. Анализ расходимости на горизонте
+ + + Н, В, U Численные расчеты
+ + + + H Приближенный метод
+ + В Приближенный метод
+ + H Явное аналитическое выражение
Таблица (продолжение)
Параметры поля Параметры черной дыры Вычисления проводились Вакуум-
Литература иа вне
угловой момент J < > < Ти > ные СО- Примечания
масса т С ПИИ S заряд Q горизонте (а) событий V СТОЯНИЯ
Эльстер (1982а) 0 0 0 0 + + + (Н; г0) Анализ влияния границы
Эльстер (1982b) • 0 0 0 0 + + (Н; г.) Явное выражение
Фролов, Зельников ФО 0 0 0 + + + H Разложение по па-
(1982) раметру S=(IttyMm)2
Фосетт (1983) 0 0 0 0 + + + H Численные рас-счеты
Эльстер (1983а) 0 0 0 0 + + (Н; г0) Численные расчеты
Эльстер (1983Ь) 0 0 0 0 + + + U Численные расчеты
Болашенко, Фролов 0 0 0 0 + + + + H Приближенный
