Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Контакты неэквивалентных многообразий
Способ возникновения контактов волновых функций с различными свойствами симметрии легче всего понять на некоторых частных примерах. Рассмотрим сначала значения энергии, принадлежащие двум волновым функциям с волновыми векторами к в одной из плоскостей симметрии з. Б. Пусть одна из этих функций, скажем, г|)][, будет четной относительно отражения в названной плоскости, а другая, г|э?, — нечетной. Пусть в некоторой точке к\ этой плоскости четная функция отвечает более высокой, а в другой точке к2—более низкой энергии, нежели нечетная. Тогда, в силу непрерывности энергии как функции волнового вектора, в данной плоскости должна существовав
256
К. ХЕРРИНГ
г =д+дс
кривая, на которой обе энергии сравниваются. Не пересекая этой кривой, невозможно перейти от точки k\ к fe2. Следовательно, она должна либо представлять собой кольцо, окружающее одну из точек fei или fe2, либо уходить в бесконечность (если энергия рассматривается как периодическая функция волнового вектора в бесконечном пространстве обратной решетки). Может случиться, конечно, что часть рассматриваемой кривой совпадает с осью симметрии в з.Б., вдоль которой происходит слияние
четной и нечетной зон, обусловленное требованиями симметрии.
В качестве другого примера рассмотрим зонную структуру натрия. График энергии как функции когда вектор k направлен вдоль оси четвертого порядка в з. Б., схематически изображен на рис. 1. Известно*), что при k = О низшее состояние валентного электрона есть состояние типа 3s. В обозначениях БСВ оно принадлежит неприводимому представлению Гі полной кубической группы. Следующее за ним состояние (при k = 0) происходит из атомного Зй-уровня. Последний расщепляется в кристаллическом поле на трижды вырожденный уровень T25 и дважды вырожденный уровень Гі2-Будем считать для определенности, что первый из них лежит ниже (хотя они столь близки друг к другу, что в обычных методах расчета различием между ними вовсе пренебрегают). В углу з.Б. группа Gh вновь совпадает с полной пространственной группой. Наинизшим здесь будет уровень Г)5 (типа Зр), затем, несколько выше, идет уровень Гі (типа 3s). Одних этих сведений уже достаточно для того, чтобы определить, каким образом следует провести кривые между точками 0 и 2n/d. Действительно, различным типам симметрии волновых функций в промежуточных точках можно сопоставить неприводимые представления Д группы их волновых векторов. Форма кривой определяется тем, что представление Д, соответствующее любой кривой, не может внезапно измениться
Рис. 1. Представления Др Л2, Д? одномерны, представление A5 двумерно.
*) Приближенные значения энергии, отвечающие различным собственным функциям в центре и в углу з. Б., можно найти в работе [5], рис. 1.
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ
257
в какой-либо точке между 0 и 2лД/, а также тем, что каждому уровню Г отвечают только некоторые определенные представления Д. Заметим, что уровень Гі2, который должен быть связан энергетической кривой с уровнем Гі, расположен выше уровня Г25; последний же, в свою очередь, должен быть связан с каким-то уровнем, лежащим (при 2я/гі) выше, чем IY Следовательно, кривые типов A2 и Ai обязаны пересечься в некоторой промежуточной точке.
Подобные соображения применимы к любой непрерывной траектории в з.Б. Надо лишь, чтобы для всех ее точек группы Gk содержали повороты или отражения и чтобы все представления пространственной группы непрерывно изменялись вдоль траектории, оставаясь в одинаковых отношениях к своим комплексно сопряженным. Порядок расположения уровней, отвечающих многообразиям различного типа M(k{)y M(Iz2) в конечных точках траектории, может обусловить наличие контактов неэквивалентных многообразий в промежуточных точках. Далее, пусть одной из конечных точек, например fti, отвечает группа Gki, содержащая в качестве подгруппы группу Gk для промежуточных точек. Тогда теоретико-групповые соображения позволяют определить типы многообразий в промежуточных точках, которые можно связать с любым многообразием AJ (Ar1) (с должным учетом инвариантности относительно инверсии времени).
Расчеты, проведенные для более сложных металлов, обнаруживают наличие таких контактов неэквивалентных многообразий вдоль осей симметрии в з.Б. (см. [6] (медь) и [7] (кальций)). Естественно, однако, что все реально осуществляющиеся контакты можно предсказать только на основании сведений об энергиях различных многообразий на двух концах оси.
3. Поведение энергии вблизи контактов
Пусть известны все волновые функции с волновым вектором ft, принадлежащие данному собственному значению E*(k). Тогда по теории возмущений можно определить соседние значения энергии для волновых функций с волновым вектором ft + И в малой окрестности ft. Действительно, любая волновая функция имеет вид
= ехр (** • г) "ь
где ик — функция, периодическая с периодом решетки. Следовательно,
ехР(-/* .г)я% = {- V—. V + JgJL + vjUk = ЕкЩ. (1)
17 Р. Нокс, А. Голд
258 К ХЕРРИНГ
