Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
а в приближении Фока к этим величинам следует добавить еще матричные элементы оператора dAJdk.
При трехкратном вырождении в точке к получить явные формулы для энергий трех зон в зависимости от к + х не так просто. В большинстве случаев, однако, удается найти критерии, указывающий, какая из трех перечисленных ниже ситуаций имеет место для заданного направления х. Эти ситуации таковы: а) расщепление каждой пары зон — величина порядка х при х->0 (рис. 2, а); б) разность энергий двух из трех зон — порядка X2 (рис. 2,6); в) все попарные расщепления — величины порядка X2 (рис. 2, в).
. Ь2 V
оператор —і — X-V можно рассматривать как возмущение.
Уравнение (1) справедливо для гамильтониана H типа Хартри; если нас интересует решение уравнений Фока, в гамильтониан надо включить еще оператор обмена —А. Это означает, что к оператору в фигурных скобках в правой части (1) надо добавить член
— Ak = — ехр (— Ik • г) А exp {Ik • г).
дАь
При этом появится добавочное возмущение
Для дальнейшего удобно обозначить через линейное
многообразие, натянутое на волновые функции Uj1, получающиеся умножением на ехр(—Ik * г) тех волновых функций из M{(k)t которые имеют волновой вектор к. Если многообразия М1(к) и М> (k) отвечают одной и той же энергии, то близлежащие значения энергии при (k + х) определяются с точностью до членов порядка х2 из решения секулярного уравнения, содержащего матричные элементы оператора /V (в приближении Хартри), действующего в подпространстве [га2 (ft), m'(ft)].
Когда при данном k вырождены две, и только две, волновые функции г|^, решение секулярного уравнения второго порядка дает следующее выражение для разности энергий 8Е двух зон, находящихся в контакте в точке к:
OE (k + х) = [(х . ff + 4 Iх - g I2]7' + О (х2). (2)
Здесь векторы / и g в приближении Хартри имеют вид
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ B ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ
259
Чтобы получить искомый критерий, будем исходить из следующего факта [8]. Пусть секулярное уравнение третьего порядка
CIeI(ZZ11v- XO^) = O,
у которого элементы вещественны и равны Нур, имеет два совпадающих корня К = Х\. Тогда величина Х\ удовлетворяет уравнению, получающемуся, если приравнять нулю минор любого элемента в det (H ^— А,6цу). Обратно, если число К\ есть корень каждого минора, то оно же представляет собой двойной корень секулярного уравнения, ибо в этом случае К\ будет корнем производной секулярного детерминанта по Я. Далее, условие
k? iE iE
%
а)
S) Рис. 2.
совпадения корней миноров, отвечающих элементам #12, /Лз и #2з, имеет тот же ВИД> что и аналогичное условие для миноров, отвечающих элементам H^ при \хФ v = 1, 2, 3 и {H1111 — К). Это условие таково:
H VlH ХъНъъН П — //?2#?3 — H 12#13//23//22 — //23//н> =
= //12//13//23//33-//13//23- (4)
Таким образом, если ни одна из трех величин Я!2, //із, #23 не обращается в нуль, то условие (4) означает, что все миноры секулярного детерминанта имеют общий корень, и, следовательно, у секулярного уравнения есть двойной корень. Если, однако, соотношение (4) удовлетворяется вследствие исчезновения двух из трех недиагональных элементов, то два из недиагональных миноров обращаются в нуль тождественно, при любом значении >„. В этом случае нельзя заключить, что главные миноры имеют общий корень, ибо относительно одного из них известно лишь, что он имеет корень, общий с многочленом, тождественно обращающимся в нуль. Для того чтобы обеспечить существование общего корня у всех миноров, достаточно использовать следующие условия: для всех индексов ji, v и а, принимающих
17*
260
К. ХЕРРИНГ
всевозможные, но различные значения от 1 до 3, минор элемента (H1111 — X) должен иметь общий корень с минором элемента #va. Эти условия имеют вид
{H29. + Hзз) (H2з# j і — HI3HI2) #23 —
— (#23#П ~~ ff M ff !г)2 — #2з(#22#33 — #2з) = 0; , ^
[Все выражения, получающиеся из этого"! q круговой перестановкой индексов J
Таким образом, одновременное выполнение условий (5) и (4) обеспечивает существование двойного корня, за исключением тривиального случая, когда Hi2 = ff\z = #23 = 0.
В рассматриваемом случае величины H^ представляют собой матричные элементы оператора
— I-X • V или — I-X . V — X . .
т т dk
Критерии (4), (5) будут применимы, если в пространстве [т{(к), т*(к)] можно найти базис, в котором все эти матричные элементы вещественны.
Чтобы использовать равенства (2), (4) и (5), надо выяснить, какие ограничения накладываются на матричные элементы векторного оператора /V, или оператора дАк/дк, вследствие того, что все базисные функции суть собственные функции вещественного гамильтониана Я, обладающего симметрией решетки. Искомые ограничения можно непосредственно получить, принимая во внимание следующие два обстоятельства. Во-первых, три компоненты рассматриваемого векторного оператора представляют собой чисто мнимые операторы. Во-вторых, они образуют базис представления пространственной группы, которому отвечает нулевой волновой вектор; иначе говоря, речь идет просто о представлении точечной группы, по которому преобразуется полярный вектор. Можно указать наиболее общие выражения для матричных элементов мнимого эрмитова оператора, сопоставленного полярному вектору F, согласующиеся с условиями данной пространственной симметрии и инвариантности относительно инверсии времени. В таблицах I — IV приведены эти выражения для различных частных случаев, рассматриваемых ниже. Базисные волновые функции, относительно которых определяются исследуемые матричные элементы, выбираются следующим образом.
