Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Литература
1. Н. А. Jahn, Е. Teiler, Proc. Roy. Soc. А 161, 220 (1937). (См. перевод в этом сборнике, статья № 5.)
2. Н. A. Kramers, Proc. Acad. Sei. Amst. 33, 959 (1930).
3. Е. Wigner, Gott. Nachricht, 546 (1932).
4. G. Frobenius, Schur, Sitzungsber. Preuss. Akad.^Wiss., 186 (1906).
5. H. A. Bethe, Ann. Physik, Lpz. 3, 133 (1929).
6. G. Frobenius, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 339 (1899),
7. I. Ti$za, Z. Physik 82, 48 (1933).
7
К. ХЕРРИНГ
ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ КРИСТАЛЛОВ
(Phys. Rev. 52, 361, 1937)
В приближениях Хартри и Фока состояние электронов в кристалле можно описать, задавая одноэлектронные волновые функции и одноэлектронные энергии; последние обладают зонной структурой. Известно, что кроме «слияния» зон, обусловленного пространственной симметрией кристалла, добавочное слияние может быть вызвано тем, что гамильтониан задачи вещественен. В настоящей работе выведен критерий, облегчающий решение вопроса о том, когда и как возникает такое добавочное вырождение. Для ряда случаев явно указаны следствия вещественности гамильтониана. Отмечено, что аналогичное слияние зон имеет место и в теории спектров частот нормальных колебаний кристаллов.
Поскольку значительная часть исследований, относящихся к электронной теории металлов, основана в настоящее время на теории зон Бриллюэна, т. е. на модели почти свободных электронов или на приближении Хартри — с учетом обмена или без него, — желательно иметь ясное понимание свойств волновых функций и энергетических спектров, получающихся в приближении этого типа. Одно такое важное свойство, а именно, слияние энергетических зон вследствие симметрии кристалла, было недавно рассмотрено Баукартом, Смолуховским и Вигнером [1]. Названные авторы отметили также, что иногда вещественность гамильтониана задачи приводит к дополнительному вырождению уровней волновых функций. Хунд показал [2], что в гексагональных кристаллах с плотной упаковкой это свойство вещественности приводит к важным случаям вырождения волновых функций с одинаковыми волновыми векторами. Мы можем назвать «случайным» любое вырождение волновых функций с одним и тем же волновым вектором, которое не навязывается ни условиями пространственной симметрии, ни вещественностью гамильтониана. В настоящей работе дается общая теория вырождения, обусловленного вещественностью гамильтониана; случайному вырождению будет посвящена следующая статья.
244
К. ХЕРРИНГ
В приближении Хартри для кристалла одноэлектронные волновые функции \|)г удовлетворяют уравнению
где потенциальная энергия V(r) обусловлена полем положительных ядер и распределенным зарядом всех электронов. Функция V(r) обладает всеми свойствами периодичности и симметрии решетки.
В приближении Фока функции фг удовлетворяют уравнению
где величина V определена так же, как и выше, а А представляет собой обменный оператор Фока. Нетрудно показать, что существуют решения уравнений Фока, для которых операторы V и А обладают всеми свойствами периодичности и симметрии данной решетки ядер и для которых оператор Л, так же как и V, является вещественным, т. е. переводит любую вещественную волновую функцию в вещественную же. Мы ограничимся рассмотрением только тех решений уравнений Фока, для которых операторы VwA обладают указанными свойствами симметрии и вещественности. Дальнейшие рассуждения будут в равной мере применимы к собственным функциями и собственным значениям любого вещественного гамильтониана, инвариантного относительно преобразований пространственной группы кристалла. В частности, наши результаты будут справедливы и для одноэлектронных функций и энергий Еи получающихся при решении уравнений Хартри или Фока.
Как известно, волновые функции электрона, движущегося в трижды периодическом силовом поле кристаллической решетки, можно выбрать так, чтобы они вместе с тем были и собственными функциями трех операторов трансляции (на соответствующие периоды решетки); при этом их можно записать в виде
% = ехр (Л. г) ик9
где uk — периодическая функция координат с периодами решетки. Вектор ft здесь определен с точностью до слагаемого вида 2я X (любой вектор обратной решетки). Наименьший по модулю вектор ft, с которым данную волновую функцию можно представить в указанной форме, называется «приведенным». В дальнейшем мы будем называть его просто «волновым вектором».
Рассмотрим совокупность всех волновых векторов ft, обладающих следующим свойством: добавляя к любому из них век-
ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ
245
тор обратной решетки, умноженный на 2я, невозможно получить вектор, меньший по модулю. Эта совокупность векторов будет заполнять внутренний объем и поверхность многогранника, называемого зоной Бриллюэна (в дальнейшем будем обозначать сокращенно з.Б.). Любая точка к на поверхности з.Б. получается из одной или нескольких других точек, к', на поверхности з.Б. с помощью трансляций на вектор обратной решетки (умноженный на 2л); удобно считать, что любая функция вида ехр(/й • r)uk имеет тот же волновой вектор, что и другая функция вида exp (ik' • г') uk, при указанных значениях к и к!. Иными словами, мы будем говорить, что волновые функции имеют одинаковые волновые векторы, если они принадлежат одинаковым собственным значениям операторов трансляции.
