Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 86

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая


6. E. Wigner, Gott. Nachricht., 133 (1930). (См. перевод в этом сборнике, статья № 2.)

8

К. ХЕРРИНГ

СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ

В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ КРИСТАЛЛОВ

(Phys. Rev. 52, 365, 1937)

Исследованы обстоятельства, при которых две волновые функции, входящие в решения Хартри или Фока для кристалла, могут отвечать одинаковым значениям энергии при одинаковых волновых векторах. Показано, что вырождения волновых функций как с одинаковыми, так и с различными свойствами симметрии следует ожидать довольно часто. Выяснены некоторые качественные особенности характера изменения энергии как функции волнового вектора вблизи точек вырождения. Все результаты настоящей работы, как и предыдущей, в равной мере применимы и к спектру частот нормальных колебаний кристалла.

В предыдущих работах [1]*) и [2]**) были выяснены некоторые свойства волновых функций и значений энергии электрона, движущегося в периодическом поле кристаллической решетки. Эти свойства были обусловлены симметрией кристалла и вещественностью гамильтониана. В настоящей работе будут рассмотрены следующие два вопроса.

1) Как часто можно ожидать случайного вырождения двух одноэлектронных волновых функций с одинаковыми волновыми векторами? «Случайным» мы называем вырождение, не навязанное условиями симметрии и вещественности гамильтониана.

2) Пусть в точке к волновые функции двух или более зон вырождены — случайно или в силу условий симметрии и вещественности гамильтониана. Какова будет зависимость энергии от волнового вектора вблизи точки kl

Исследование, необходимое для ответа на эти вопросы, довольно утомительно Однако, несмотря на это, равно как и на то, что в приближенной теории, возможно, не стоит беспокоиться относительно столь тонких деталей, дальнейшие соображения могут дать полезное представление о структуре энергетических зон металлов, особенно многовалентных. В частности, есть надежда, что удастся облегчить и сделать более надежным полное

*) В дальнейшем обозначается как БСВ. **) Далее обозначается как работа I.

254

К. ХЕРРИНГ

определение энергии как функции волнового вектора путем интерполяции результатов расчетов типа Вигнера — Зейтца Слэтера. Результаты настоящей работы (как и результаты, полученные в работе I) применимы также и к спектру частот нормальных колебаний кристалла; однако явное вычисление этих частот еще не продвинулось в такой степени, как расчет электронных зон *).

Мы пользуемся теми же обозначениями, что и в работе I. Введем, кроме того, символ [Af1, Af2], обозначающий подпространство Гильбертова пространства, натянутое одновременно на два каких-нибудь линейных многообразия волновых функций Af1 и Af2.

1. Предварительные определения

Для того чтобы рассмотреть случайное вырождение, необходимо сначала сгруппировать все собственные функции, обязательно вырожденные из-за симметрии и вещественности гамильтониана. Пусть г|)? есть произвольная собственная функция с волновым вектором ft и энергией ЕЦк). Подвергая преобразованиям пространственной группы, а также преобразованию комплексного сопряжения Ky мы построим линейное многообразие, все члены которого представляют собой собственные функции H с энергией ?*(ft). Такое линейное многообразие собственных функций, порождаемое собственной функцией с волновым вектором ft, мы будем обозначать символом Af2' (ft), если оно не-приводимо под действием К и элементов пространственной группы. Конечно, в общем случае оно будет содержать и волновые функции с волновыми векторами, отличными от к. Любое многообразие AfJ(к) будем называть эквивалентным Af'(ft), если эквивалентны представления пространственной группы в них. Как показано в работе I, представление пространственной группы в Af*'(ft) может быть неприводимым (случай (а)), приводимым и разбивающимся на две неэквивалентные части (случай (б)) или приводимым и разбивающимся на две эквивалентные части (случай (в)).

. Наличие случайного вырождения означает просто, что для некоторого частного значения к можно найти два независимых многообразия Al*(ft) и AP'(ft), принадлежащих одному и тому же собственному значению энергии. Назовем, для краткости, такое случайное вырождение энергии «контактом», а соответствующее значение ft — «точкой контакта». Возможны контакты двух типов, соответственно тому, неэквивалентны или эквивалентны

•) Расчет для простой кубической решетки выполнен в [3],

СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ B ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ 255

*) Простым примером этого служит случай, когда потенциал допуска т разделение переменных в прямоугольных координатах. Здесь имеется дг', • мерная область контакта, когда в одной из одномерных задач, к котор.':-' сводится трехмерная, происходит пересечение энергетических кривых. Хорошо известно, однако, что почти любое малое возмущение приведет к исчезнове* нию такого пересечения в одномерной задаче (ср. [4]).

многообразия МЦк) и МЦк). Эти случаи будут рассмотрены в разделах 2 и 4. В настоящей работе мы не будем интересоваться всеми типами контактов, возможными при специально выбранных формах потенциальной энергии, входящей в гамильтониан задачи. Ограничимся только случаями, которых можно ожидать при решении уравнений Хартри или Фока для реального кристалла. Так, например, легко подобрать потенциал V = Vo(x, у, Z)1 для которого геометрическим местом точек контакта между двумя нижайшими энергетическими зонами будет двумерная поверхность в ft-пространстве. Однако почти всякое бесконечно малое изменение функции V приведет нас к новому гамильтониану, в спектре которого контактов не будет вовсе*). В реальном кристалле факторы, определяющие вид потенциальной энергии V, никак не связаны с условиями, которым должна удовлетворять функция V1 для того чтобы существовала контактная область указанного выше типа. Поэтому можно спокойно утверждать, что ни в каком реальном кристалле функция V не имеет вида V0. Вообще говоря, мы можем рассматривать любое свойство контакта или контактной области (например, то, что область контакта представляет собой двумерную поверхность). Если названное свойство исчезает в результате бесконечно малого изменения вида функции V1 не меняющего ее симметрии, то ему можно приписать «исчезающе малую вероятность». Послед-лее понятие будет использоваться, в основном, при точной формулировке теорем раздела 4.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed