Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
264
К. ХЕРРИНГ
входящих в группы остальных двух точек; для них единичные векторы е должны быть ориентированы относительно соответствующих плоскостей симметрии.
Формулы (2) и (3) в сочетании с двумя последними строками табл. I позволяют вычислить значения 6Е для точек вблизи кривой контакта четной и нечетной волновых функций, лежащей в плоскости симметрии. Если пространственная группа не содержит центра инверсии, то можно ожидать, что при удалении от любой точки к на кривой контакта величина расщепления 6E(k + х) будет порядка х для любого направления х не в плоскости симметрии. Действительно, мы вправе спокойно предположить, что вещественная и мнимая части вектора g не обращаются одновременно в нуль в любой точке кривой. При наличии центра инверсии, однако, вещественная часть g всегда равна нулю. Поскольку кривая будет, вообще говоря, содержать точки, в которых мнимая часть g исчезает, можно ожидать, что на ней будут точки, в окрестностях которых величина расщепления 8E(k + х) —порядка х2 (при векторе х, нормальном к плоскости симметрии). Независимо от того, имеется центр или нет, можно считать, что величина 8E(k + х)—порядка х, если вектор х лежит в плоскости симметрии и нормален к кривой контакта.
Для контактных точек на оси симметрии, где оба многообразия т* и т) одномерны, можно ожидать, что при векторе х, не перпендикулярном к оси, величина oE(k + x) будет всегда порядка х, а при х, нормальном к оси, — порядка х2 или х, в зависимости от того, исчезает или нет скалярное произведение teg (в таблице указано, когда реализуется та или иная возможность). На основании равенств (2) и (3) и табл. IV можно заметить также, что в точках, близких к оси четвертого порядка, величина расщепления двух зон, сливающихся везде на оси (представление As), всегда оказывается порядка квадрата расстояния от оси. Подобным же образом из табл. III следует, что расщепление двух зон, сливающихся повсюду на оси четвертого порядка (представление Лз), есть величина порядка расстояния от оси; исключение составляют окрестности тех точек, в которых Рзз обращаются в нуль.
Рассмотрим, наконец, поведение энергии вблизи контактов представления Лз с одним из других Л-представлений, или As с одним из других Д. Как с помощью табл. IV и условий (4) и (5), так и путем прямого решения секулярного уравнения третьего порядка легко проверить, что при контакте As с одним из прочих А-представлений можно ожидать следующего: энергетическое расщепление для любой пары из трех зон будет расти пропорционально х при переходе из точки контакта к в точку
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ 265
(A + x) (исключая случай, когда вектор х параллелен оси). Другими словами, ситуация здесь аналогична изображенной на рис 2, а для любого направления х, кроме направления вдоль оси. В случае контакта A3 с одним из других Л-представлений секулярное уравнение, получаемое на основе табл. III, оказывается более сложным, и так как его нелегко решить в явном виде, следует воспользоваться условиями (4) и (5).
Результат удобнее всего пояснить с помощью рис. 3. Плоскость рисунка представляет собой плоскость, проходящую через точку контакта к нормально к оси C3; тремя линиями изображены пересечения этой плоскости с тремя плоскостями сим-метрии JC2. Когда проекция вектора х на плоскость рисунка расположена вдоль одного из трех направлений, показанных сплошными линиями, и угол между X и осью C3 равен определенному значению 8, можно ожидать, что расщепление 6?(ft+x) одной пары из трех зон будет порядка х2. Расщепление 6E(k + х) пары зон также бу- Рис. з.
дет порядка X2, когда проекция вектора х на плоскость рисунка ориентирована вдоль одного из направлений, изображенных пунктирными линиями, а угол между осью C3 и X равен я — 6. Таким образом, для этих направлений вектора X ситуация аналогична изображенной на рис. 2,6. Для всех иных направлений х, исключая направление вдоль оси, величина oE(k + x)—порядка х, т. е. ведет себя, как показано на рис. 2, а.
4. Контакты эквивалентных многообразий
В этом разделе будет показано, что существуют ситуации, в которых две энергетические зоны касаются друг друга в точке общего типа и их нельзя расщепить никаким возмущением; будут также указаны некоторые свойства контактов такого рода. Точнее говоря, будет доказано следующее утверждение: пусть некоторому волновому вектору к отвечают два вырожденных эквивалентных многообразия W (к) и Mi {k). Вероятность существования такого вектора не исчезающе мала (в смысле раздела 1).
Рассмотрим сначала случай кристалла без центра инверсии. Для простоты ограничимся только приближением Хартри, так как в случае приближения Фока все рассуждения ведутся совершенно так же. Пусть потенциальная энергия электрона V(г) в этом кристалле такова, чго, помимо трансляций, есть еще ось
266
К. ХЕРРИНГ
симметрии второго порядка, но нет никаких других элементов симметрии. Рассмотрим две волновые функции с волновым вектором kf лежащим на данной оси, и пусть одна из них не изменяется при вращении вокруг оси, а вторая — меняет знак. Допустим (это — вполне возможная ситуация), что в рассматриваемой точке к эти функции вырождены. Используя тот же метод, который был применен при построении таблиц I — IV, легко проверить, что условия симметрии и вещественности гамильтониана накладывают на векторы fug, определенные равенством (3), лишь одно ограничение: вектор / должен быть параллелен оси симметрии, а вещественная и мнимая части g— перпендикулярны к ней. Поэтому вполне допустимо предположить, что три вектора—/, вещественная часть g и мнимая часть g—не компланарны в точке контакта к. Иначе говоря, несомненно будут существовать такие потенциальные функции V(г), для которых названные векторы в точке контакта некомпланарны.
