Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы будем на равных правах употреблять термины «линейное многообразие» и «подпространство Гильбертова пространства» для обозначения совокупности всех линейных комбинаций любого заданного набора волновых функций; совокупность всех линейных комбинаций волновых функций из нескольких линейных многообразий мы будем называть «подпространством, натянутым на эти многообразия». Символом (фьфг) будет обо-
волновых функций и \f>2-
Задача о вырождении различных собственных функций из-за вещественности гамильтониана была в общем случае рассмотрена Вигнером [3]. Это вырождение (равно как и вырождение, обусловленное пространственной симметрией гамильтониана) оказывается связанным со свойствами различных представлений группы пространственной симметрии гамильтониана. В настоящей задаче роль последней играет пространственная группа кристалла. Зейтц [4] доказал несколько математических теорем относительно неприводимых представлений пространственных групп. Полезно отметить следующие факты, указанные в работах [I, 3, 4].
Совокупность всех преобразований пространственной группы, переводящих каждую волновую функцию с заданным волновым вектором к в ту же или другую волновую функцию с тем же волновым вектором, образует подгруппу Gh пространственной группы. Ее называют «группой волнового вектора». Обозначим через о* многообразие волновых функций с волновым вектором к и выделим натянутое на него подпространство, а также (M—1) других подпространств, натянутых на многообразия, получающиеся из о* под действием элементов пространственной группы кристалла. Пусть эти подпространства приводят группу Gh. Тогда при всех преобразованиях пространственной группы эти
значаться скалярное произведение
любых двух
246
К. ХЕРРИНГ
подпространство, натянутое на а*, будет неприводимо преобразовываться само в себя. Набор волновых векторов, входящих в неприводимое представление пространственной группы, можно назвать «зрєздой» представления.
Для всех точек к в пространстве волновых векторов, кроме лежащих на некоторых определенных плоскостях, линиях .или в изолированных точках з. Б., группа Gk состоит из одной только группы трансляций, так что для любого вектора из указанного класса все представления Gh эквивалентны и одномерны. Для векторов ft, лежащих в некоторых определенных плоскостях (за исключением отдельных линий и точек), группа Gh может включать, помимо трансляций, еще плоскости отражения и скольжения. В отдельных изолированных точках з. Б. или на некоторых определенных линиях могут появиться еще добавочные элементы симметрии, что приводит к возникновению многомерных представлений Gh.
Выводы Вигнера основаны на следующем факте: если гамильтониан задачи вещественен, то выражение, комплексно сопряженное с любой собственной функцией, также будет собственной функцией с той же самой энергией. Операцию комплексного сопряжения следует интерпретировать как преобразование, которое переводит волновую функцию данного состояния системы из одной системы отсчета в другую, отличающуюся от первой только изменением направления времени. Вигнер показывает, что если в произвольном линейном многообразии собственных функций представление пространственной группы симметрии неприводимо и эквивалентно представлению, реализуемому только вещественными матрицами, то волновым функциям данного многообразия будут, вообще говоря, отвечать собственные значения энергии, отличные от всех остальных; напротив, неприводимое многообразие, в котором невозможно задать вещественное представление, всегда должно отвечать той же энергии, что и комплексно сопряженное многообразие. Последнее будет линейно независимо от исходного, и представление D* группы симметрии в нем может быть как эквивалентно, так и неэквивалентно исходному представлению D*).
Удобно иметь критерий, с помощью которого, зная правила умножения элементов группы и их характеры в любом неприводимом представлении, можно было бы выяснить, какая из трех возможностей реализуется: является ли это представление неэквивалентным своему комплексно сопряженному, или экви-
*) Эти утверждения справедливы, если, как в рассматриваемом случае, волновая функция не включает спиновых переменных. При учете спина операция инверсии времени принимает более сложный вид.
ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ
247
валентным, но таким, что его нельзя преобразовать к вещественной форме, или же это представление можно преобразовать к вещественной форме. Такой критерий можно получить, используя теорему, доказанную впервые Фробениусом и Шуром [5]. Она гласит: если D есть какое-либо неприводимое представление конечной группы G порядка N и если %d{R) есть характер элемента R в этом представлении D, то
N9 если D эквивалентно представлению, реализуемому вещественными матрицами;
О, если представления DhD* неэквивалентны; (1) --Af, если D эквивалентно D*, но не эквивалентно никакому представлению, построенному целиком из вещественных матриц.
Суммирование в (1) проводится по всем элементам T группы G. Мы будем называть первую возможность случаем (а), вторую — случаем (б) и третью — случаем (в).
