Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы применить этот результат к произвольной пространственной группе, заменим ее другой группой, содержащей те же элементы с теми же правилами умножения, но с одним исключением: v-я степень любой трансляции должна давать теперь тождественное преобразование. Новая группа содержит конечное число элементов, так что суммирование по Г в формуле (1) можно выполнить. Пусть, как обычно, пространство представления состоит из всех волновых функций, остающихся неизменными после V трансляций на любой из основных векторов решетки. Тогда все представления пространственной группы будут идентичны соответствующим представлениям конечной группы. Определим смежный класс, отвечающий некоторому элементу Q0, как совокупность произведений вида Qi = Q0tu где ti — некоторый элемент группы трансляций. Тогда элемент Qi = Qo (Qo" 1ZfQo) ti будет принадлежать смежному классу, отвечающему Qo. Суммирование по всем элементам группы Q1- можно разбить на суммирование по элементам и по различным смежным классам, соответствующим преобразованиям точечной группы Q. Выберем базис, в котором группа трансляций приведена. Тогда
S Xo(Q?) -222 [4V Qgexp(- ik. {Qt1 + #,))^j1
2 & (D-
248
К. ХЕРРИНГ
причем оператор /г- преобразует вектор г в г—tu а индекс \к нумерует различные базисные функции, если две или более из них имеют один и тот же волновой вектор ft. Сумма по к берется, конечно, по всем волновым векторам звезды представления О. Далее,
S exp(- ik - (Qt1 + tt)) = 2 exp(- i(Q~lk + к). *,) =
О, если Q 'ft ф - к + 2я?, V3, если Q~lk = — к + 2ng.
Здесь g есть произвольный вектор обратной решетки. Далее, поскольку все векторы звезды эквивалентны, все члены в сумме по ft, которая должна вычисляться в последнюю очередь, одинаковы. Поэтому, если h есть порядок макроскопической группы симметрии, a M — число различных волновых векторов в звезде представления Z), то формула (1) принимает вид
2 2(4v Q^J =± A/M или 0. (2)
При этом в сумме по элементам точечной группы Q надо учитывать лишь те преобразования, которые переводят ft в вектор, эквивалентный —ft; под Qo понимается какой-нибудь один из элементов пространственной группы, входящих в смежный класс, отвечающий элементу Q. Нужно брать только один волновой вектор звезды. Применение формулы (2) разбивается на несколько этапов, указанных ниже.
Определяем неприводимое представление подгруппы Gft.
Отбираем те операторы Q точечной группы кристалла, которые переводят ft в вектор, эквивалентный —ft.
Каждому оператору Q, выбранному таким образом, сопоставляем смежный класс элементов пространственной группы; из каждого такого смежного класса произвольно выбираем один элемент пространственной группы, Qo-
Вычисляем характеры всех элементов Qo в неприводимом представлении подгруппы Gh и суммируем по различным элементам Q0. Получится одно из трех значений: Л/М, 0 или —h/M, Соответственно для неприводимого представления пространственной группы, частью которого является взятое выше неприводимое представление подгруппы G\ мы имеем случай (а), (б) или (в).
Когда вектору ft отвечает точка общего типа в з. Б., Gk есть группа трансляций, и если существует преобразование Q, переводящее ft в волновой вектор, эквивалентный —ft, то оно может быть только инверсией. В таком случае элемент Qo представ-
ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ
249
ляет собой тождественное преобразование и в формуле (2) должен стоять знак плюс. Поэтому в общей точке з. Б. осуществляется одна из двух возможностей: либо представления D и D* имеют различные звезды, либо D можно преобразовать к вещественному виду. В обоих этих случаях симметрия относительно обращения времени никак не может привести к вырождению двух волновых функций с одинаковыми волновыми векторами ft.
Посмотрим теперь, что может случиться, когда ft есть произвольная точка на некоторой плоскости в з. Б. При этом всякое преобразование Q, переводящее ft в точку, эквивалентную —ft, переводит и любую другую точку ft' данной плоскости в точку, эквивалентную —ft'. Есть только два точечных преобразования Q, которые могут перевести любую точку плоскости в точку, эквивалентную ее обратной. Это — инверсия / и поворот C2 вокруг оси второго порядка, перпендикулярной к данной плоскости. Если ни одной из таких операций не имеется, то представления DhD* должны быть, конечно, неэквивалентными и звезды их будут различными. Если же звезды представлений D и D* одинаковы, то связь между DhD* дается в табл. I. В первом
Таблица I
Qo
Связь между DhD*
J
(а)
C2
(а)
C2
(а), (в)
C2,/
(а)
C2J
(а), (б)
столбце ее указаны представители смежных классов — по одному для каждого из преобразований точечной группы, переводящего ft в волновой вектор, эквивалентный —ft. Все представления пространственной группы, принадлежащие звезде ft, относятся к типам, обозначенным буквами во втором столбце. В третьей и последней строках первые буквы относятся к случаю, когда точка ft лежит на плоскости внутри з.Б., а вторые буквы — к случаю, когда ft лежит на границе з.Б. Символы /, C2 обозначают, соответственно, инверсию и собственное вращение на угол я вокруг некоторой оси. Символом C2 обозначена винтов.ія ось второго порядка, обладающая следующим свойством: аи
