Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Добавим теперь к потенциальной энергии член vU(r) так, чтобы в результате не осталось никакой симметрии, кроме трансляционной. Функция U (г) есть заданная несимметричная периодическая функция, а V — бесконечно малое положительное число. Рассматривая этот член как возмущение, мы можем, решив секулярное уравнение второго порядка, вычислить, как он влияет на энергии волновых функций, волновые векторы которых близки к к. Результат подобен выражению (2):
Здесь 6Е — разность (E1 (k')—Ei(k')) при наличии возмущения, а 6?о — та же величина в его отсутствие; остаточный член R удовлетворяет неравенству \R\<2Av2, где А не зависит от выбора вектора к' в малой окрестности к. Все величины в обеих частях равенства (6) берутся в одной и той же точке к'.
Допустим теперь, что после замены исходного потенциала на (V + vU) в окрестности точки к уже нет контакта. Тогда величина расщепления 6Е должна иметь минимум в некоторой точке, близкой к к. С помощью равенства (6) можно доказать, что в точке, в которой достигается этот минимум, должны одновременно выполняться два неравенства:
Градиент 6Е по любому направлению должен обращаться в нуль в рассматриваемой точке, т. е. вектор / должен равняться нулю; очевидно, при этом его можно считать компланарным с вещественной и мнимой частями g. Но необходимое и достаточ-
ен = {[6E0 + V (Un - U11)]2 + 41 vUu I2}7' + R.
(6)
I Of0 + V (ии - Un) I < AAv2, I U111 < 2Av.
(7)
СЛУЧАЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ B ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОНАХ 267
ное условие компланарности этих трех векторов состоит в том, что равна нулю нижняя грань квадратичной формы (х-/)2 + -t-4,x-g|2 для всех векторов X единичной длины и произвольного направления. Эта нижняя грань определяется только самим пространством и не зависит от выбора базисных функций и\ lo в нем. В отсутствие возмущения эта нижняя грань была отлична от нуля в точке ft. Поскольку подпространство [и[,у непрерывно изменяется с к', в окрестности к должна существовать область конечной величины, в которой эта нижняя грань больше є, є > 0. Следовательно, каков бы ни был вид функции U(г), всегда можно найти такое достаточно малое число V1 что нижняя грань квадратичной формы по-прежнему будет больше нуля после включения возмущения в каждой точке, в которой удовлетворяются неравенства (7). Для такого малого значения V предположение об отсутствии контакта после включения возмущения оказывается, следовательно, несостоятельным: после изменения вида потенциала, равного теперь (V Л- VU)1 по-прежнему остается контакт в некоторой точке вблизи ft. Поскольку, однако, гамильтониан более не обладает никакой симметрией, кроме трансляционной, это есть контакт двух эквивалентных: многообразий, Af7(ft) и М*(ft).
При наличии в кристалле центра инверсии можно провести аналогичное рассуждение, которое достаточно описать только в общих чертах. Пусть вначале потенциальная энергия электрона имела центр инверсии и плоскость симметрии. Добавим к ней малое несимметричное возмущение VU так, чтобы центр инверсии остался, а плоскость симметрии исчезла. Пусть, далее, до включения возмущения в плоскости симметрии существовала замкнутая кривая контакта зон, отвечающих четной и нечетной волновым функциям. Она должна сохраниться и после добавления возмущения, если только число V достаточно мало. Действительно, исчезновение какой-либо части кривой означало бы, что при наличии возмущения имеется целая линия точек, в которых вектор / практически исчезает. Как можно усмотреть из второй строки табл. I, это значит, что векторы fug должны быть практически коллинеарны в указанных точках. Последнее, однако, невозможно, если рассматриваемые векторы были некол-линеарны в соответствующих точках кривой контакта в отсутствие возмущения.
Всего изложенного, как я надеюсь, будет достаточно, чтобы сделать правдоподобными большинство сформулированых ниже теорем. Заметим, что в настоящей статье не ставилась цель дать полные доказательства наших утверждений; был также оставлен без ответа ряд вопросов, которые могут возникнуть.
268
К. ХЕРРИНГ
Доказательства этих іеорем*), слишком пространные для того, чтобы приводить их здесь, основаны на соображениях теории возмущений — того же типа, что и использованные в этом и предыдущем параграфах. Перейдем к формулировке теорем.
1) Для кристаллов без центра инверсии контакты эквивалентных многообразий M{(k)y МЦк) могут иметь место в изолированных точках k, Их нельзя устранить бесконечно малым изменением потенциала V. Подобные точки контакта к могут лежать в плоскости симметрии в з.Б , или в плоскости, перпендикулярной к оси второго порядка, при условии, что представление пространственной группы в каждом из многообразий M1 (к), MHk) неприводимо, т. е. при условии, что осуществляется случай (а). В этом случае никакое бесконечно малое изменение V, сохраняющее симметрию кристалла, не может вывести точку контакта из плоскости. За исключением указанной возможности, вероятность того, что точка контакта находится в плоскости или на оси симметрии в з. Б., исчезающе мала.
