Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Литература
1. L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski, E Wigner, Phys Rev. 50, 58 (1936). (См. перевод в этом сборнике, статья № 4.)
2. С. Herring, Phys Rev 52, 361 (1937). (См. перевод в этом сборнике, статья № 7.)
З М. Blackmail, Proc Roy. Soc. А 159, 416 (1937).
4. J. vonNeumann, E. Wigner, Phys. Z 30, 467 (1929).
5 J. C S 1 a t e r, Phys. Rev. 45, 794 (1934).
6 H. M Krutter, Phys Rev. 48, 664 (1935)
7. M. F. Manning, H. M. Krutter, Phys. Rev. 51, 761 (1937).
8. W. B u r n s і d e, P a n t о n, Theory of Equations, v. II, p. 66.
9
?. ОПЕХОВСКИИ
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ» ГРУППАХ
(Physica 7, 552, 1940)
Обобщены и разъяснены соображения и расчеты Бете, касающиеся расщепления атомных уровней с полуцелыми значениями квантового числа J под влиянием возмущения заданной симметрии. В частности, дано строгое определение введенного Бете понятия о «двойной группе» как кристаллографической группе. Кратко рассматриваются свойства двойных групп и их неприводимые представления. Эти общие соображения применяются для исследования ромбоэдрической и тетраэдрической двойных групп, не рассмотренных Бете. Вычислены характеры всех неприводимых представлений этих групп, даны формулы расщепления для состояний с произвольным значением / (целым или полуцелым) под действием возмущения с симметрией одного из указанных типов.
Бете [1], используя методы теории групп, рассмотрел задачу о расщеплении спектральных термов атома в электрическом поле заданной симметрии. В общем случае задача, как хорошо известно, сводится к отысканию характеров всех неприводимых представлений рассматриваемой кристаллографической группы G*). Матрицы неприводимого представления группы вращений /?з, соответствующие элементам G, образуют представление группы G, в общем случае приводимое. Таким образом, необходимо знать, какие из неприводимых представлений группы G содержатся в данном приводимом представлении. Этих неприводимых представлений имеется столько же, сколько есть различных уровней, на которые расщепляется уровень свободного атома, соответствующий рассматриваемому неприводимому представлению группы R3.
В случае, когда данному уровню отвечает целое квантовое число полного момента количества движения /, задачу можно решить с помощью обычных методов теории конечных групп. Это было сделано Бете. Однако при полуцелом / возникают затруднения, так как в этом случае представления группы вращений двузначны. Чтобы привести представление, найденное при рассмотрении произвольной подгруппы группы вращений, надо,
*) Мы ограничимся кристаллографическими группами, представляющими собой подгруппы группы вращений. Обобщение результатов на случай других кристаллографических групп не представляет труда См. в связи с этим § 3 работы Бете [1].
272
В ОПЕХОВСКИЙ
вообще говоря, знать характеры двузначных неприводимых представлений этой подгруппы. Обычным путем, однако, получаются только характеры однозначных представлений. Для отыскания двузначных неприводимых представлений Бете ввел понятие «двойной группы». Пользуясь им, он решил интересующую нас задачу (для полуцелого /) для следующих подгрупп группы вращений: октаэдрической, гексагональной, тетрагональной и ромбической групп (т. е. для групп правильных «двусторонних» п-эдров *) при п = 6, 4, 2).
Однако введенное Бете понятие «двойная группа» нуждается в более четкой формулировке, ибо он не обосновал строго свой метод и не дал общего правила, которое позволяло бы сопоставлять произвольной подгруппе группы вращений ее «двойную группу». В настоящем сообщении мы намерены исправить эти недостатки с помощью формального рассмотрения. Мы нашли также характеры всех двузначных неприводимых представлений тетраэдрической и ромбоэдрической групп (последняя есть просто группа n-эдра при п = 3). Таким образом, мы можем дать формулы, описывающие расщепление уровня с произвольным значением / (целым или полуцелым) под влиянием возмущения, обладающего симметрией одного из двух указанных типов.
Как известно, группа вещественных трехмерных вращений /?з образует неприводимое представление группы U2 всех унитарных унимодулярных преобразований двух комплексных переменных. Это представление не является точным: каждой матрице из /?з отвечают две матрицы из U2, отличающиеся только знаком (см., например, [2]). По этой причине группу U2 можно рассматривать как «двузначное неприводимое представление» группы вращений. В этом же смысле все неприводимые представления U2 четной размерности (соответствующие полуцелым значениям /) **) являются вместе с тем и двузначными неприводимыми представлениями группы /?з- Напротив, неприводимые представления группы U2 нечетной размерности (/ целое) ***) являются и неприводимыми представлениями группы /?з в обычном смысле слова. (Мы всегда будем понимать термин «представление» как «однозначное представление».)
Рассмотрим произвольную подгруппу G группы вращений. Пусть ее порядок равен п. Поскольку U2 осуществляет двузнач-
*) Ниже термином «л-эдр» мы будем обозначать правильные «вырезанные» многогранники, т. е. многогранники, которые можно как переворачивать, так и поворачивать вокруг оси п-го порядка. — Прим. перев. англ. издания.
