Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
250
К. ХЕРРИНГ
один из элементов C2/ того же смежного класса, что и C2, не есть собственное вращение (без трансляции).
Итак, табл. I показывает следующее. Во-первых, если грань з. Б. перпендикулярна к винтовой оси второго порядка, в смежном классе которой нет ни одного собственного вращения на угол я, то в точках этой грани энергетические зоны должны попарно сливаться. Во-вторых, ни при каких других обстоятельствах условия симметрии и вещественности гамильтониана H не приводят к вырождению двух собственных функций с одним и тем же вектором ft, отвечающим общей точке плоскости симметрии.
Пусть теперь вектор ft отвечает произвольной точке на оси симметрии. При этом число различных способов построения группы Gh столь велико, что перечислять их все неудобно. Однако, если вектору ft отвечает внутренняя точка з. Б., то ситуация значительно упрощается по сравнению со случаем, когда рассматриваемая ось лежит на грани з.Б. Для такой внутренней точки легко выяснить, могут ли реализоваться представления типов (б) и (в). Рассмотрим одно из слагаемых (г|^, <2оФА|4), входящих в формулу (2). Если оно не равно -И, то либо Q2 Ф Еу т. е. квадрат данного элемента точечной группы Q не есть единичное преобразование, либо Qo = /, где t — трансляция в направлении, перпендикулярном к ft. Вторая возможность в данном случае исключается, ибо элемент Q переводит любой вектор, параллельный ft, в вектор, направленный противоположным образом (в случае, когда вектору ft отвечает точка на грани з. Б., это было бы не обязательно). Теперь нетрудно проверить следующее. Единственного вида элементы Q, встречающиеся в любых кристаллических группах и обладающие теми свойствами, что, во-первых, Q2 Ф E и, во-вторых, существует направление в пространстве, которое Q преобразует в противоположное, таковы:
Q = S4, что дает Q2 = C2;
Q = S6 или S3, что дает Q2 = C3.
Здесь символы C2 и C3 обозначают, соответственно, собственные вращения вокруг осей второго и третьего порядка, a S3, S4 и S6— вращения вокруг осей третьего, четвертого и шестого порядка, сопровождаемые отражениями в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Пусть вектор ft отвечает общей точке на оси симметрии внутри з.Б. Тогда, как легко убедиться, вклад от положительных членов в левой части (2) всегда дол^ жен перевешивать вклад от комплексных и отрицательных членов, за исключением шести случаев, приведенных в табл. II. Это
ВЛИЯНИЕ СИММЕТРИИ
251
означает, что если вектору ft, чья звезда содержит —ft, соответствует точка рассматриваемого типа, то все представления пространственной группы, принадлежащие данной звезде, относятся к типу (а). Исключение составляют случаи, когда совокупность элементов Q, преобразующих ft в —ft, точно совпадает с одной из указанных в табл. II. Во всех приведенных вариантах некоторые из представлений, имеющих звезду ft, относятся к типу
Таблица II
Q
Связь между DhD*
J, 2Se
(а) или (б)
/, 2.Sg, 2S3, S2
(а) или (б)
S2y 2S3
(а) или (б)
2S4
(а) или (в)
/, S2, 2S4
(а) или (б)
2C2t 2S4
(а) или (б)
(а), а некоторые — к одному из других типов. По этой причине символ (а) входит всюду во втором столбце.
Можно заметить, что для всех строк табл. II, кроме последней, подгруппа Gh оказывается циклической. Поэтому мы можем сказать, что когда вектору ft отвечает точка на оси третьего, четвертого или шестого порядка и группа Ск не циклическая, то возможен только случай (а); иначе говоря, возможен только случай (а), если через рассматриваемую ось проходит плоскость отражения. Далее, если пространственная группа включает инверсию и вектору ft отвечает точка на оси второго порядка, то также реализуется только случай (а).
В заключение следует отметить, что приведенные выше результаты имеют значение не только для энергетического спектра электронов в кристалле, но также и для распределения частот нормальных колебаний кристалла. Действительно, можно показать, что нормальные колебания кристалла соответствуют базисным векторам вещественного представления пространственной группы кристалла; при этом все нормальные колебания, принадлежащие представлению, неприводимому в поле вещественных чисел (хотя, может быть, и приводимому в комплексной области), должны иметь одну и ту же частоту (ср. [6]). Таким образом, с математической точки зрения теория нормальных колебаний н их частот в точности аналогична теории
252
к. херринг
электронных волновых функций и их энергий. Частоту можно представить как функцию волнового вектора, и слияние двух или более из этих частотных полос будет происходить при тех значениях ft, при которых группа Gk имеет многомерные представления (т. е. имеют место случаи (б) или (в)).
Литература
1. L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski, Е. Wigner, Phys. Rev. 50, 58 (1936). (См перевод в этом сборнике, статья № 4.)
2. F. H u n d, Z. Physik 99, 119 (1936).
3. Е. Wigner, Gott. Nachricht.. 546 (1932).
4. F. Seit z, Ann. of Math 37, 17 (1936)
5. G. Frobenius, I. Schu r, Berl. Ber., 186 (1906).
