Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Ф7—p|(-8)Vl«
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ. II
233
или
-(РФІрУ-І^-вФІ.).
т. е.
к о
и, следовательно, функции -фр = — рф!р действительно преобра зуются по представлению Ф. Легко проверить, что
¦X ~ +аФр = S T ^p(Ap - ЯрРЯоа) №рФа - Ф<тфр)>
так что след представления, базис которого образован функциями VPa-1IMPp* равен
Это есть не что иное, как след антисимметричного произведения {Ф2}.
Итак, мы показали, что для молекул с нечетным числом
электронов при учете спина интегралы J %уаУгс1т; и, следо-
нию V[O2}.
3. Доказательство общей теоремы для молекул со спином
Мы видели, что для молекул с четным числом электронов при учете спина результаты, полученные в первой части работы, сохраняются без изменения. Таким образом, остается рассмотреть лишь молекулы с нечетным числом электронов. Их электронные волновые функции при учете спина преобразуются по двузначным неприводимым представлениям соответствующей группы симметрии; названные представления всех точечных групп указаны в табл. I, и мы ими сейчас воспользуемся.
Таблицы характеров двузначных неприводимых представлений кристаллографических групп D2, D4, D6 и О были составлены Бете [5], и мы воспользовались его методом при отыскании характеров групп D2p, D2p+i. Характеры неприводимых представлений группы икосаэдра / (а также групп Г и О) были уже получены в работе [6]. Для полноты мы включили в таблицу группы аксиальной симметрии D00 и C90Vy но, следуя
вательно, интегралы
преобразуются по представле-
234
Г. А. ЯН
Таблица I. Двузначные неприводимые представления точечных групп
E
Я
2С (<р) C2
E
R
2С(Ф) о>
2
-2
2 cos0
2
-2
2cos-^ О
2
2
-2
2 cos 2 ф 0
О < ф < 4я
°2Р+1
E
2С
2СР
2CP+1 .
2C2p
2pC2
2pc?
ь2р+1, о
E
2С
2СР
2CP+1 .
2C2p
в;
1
—I
—I
•
(-1)Р
. . (-If + 1
і
-*
I
-і
—1
<-1)р
1
. . <-DP+1
—і
і
2
—2
-2 cos O) . .
. (-!)p2cosp©
2 cos (o .
. • (-l)p+I2cospo
О
О
4
2
—2
—2cos2<>> . .
. (—1)^2 cos 2рю 2 cos 2(0 .
. . (—I)p+,2cos2po
О
О
*,
2
-2
—2cosp<it> . •
• (— 1 )P2 COS p2(D 2cospo
. , . (-l)p+12cosp2
U) О
О
o - 2я/(2р + 1)
Два комплексно сопряженных представления В\ и B2 вместе дают
2-2-2 ... 2(-1)* 2 . . . 2(-1)*+1 О О
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ. II 235
D2p b2p,v
*2p,v
e
r
2C
2C2
. . . cp
2CP+I
... PC2
pc2
e
r
2C
2C2
... cp
2cp+i
... P(J0
<
e
r
2$
2S2
. . . s*>
2SP+1
• • • pa0
pc2
4l
?2p-l 2
—2 2 cos
2—2 2 cos
2
3©
2 cos cd 2 cos 3cd
2 —2 2cos u) 2cos(2p-I)G>
.0 0
cd
—2 cos —
—2 cos
to
2P-I —2 cos---cd
cd «= 2я/2р
а 0 0 0
E
4C3
4C32
4C*
4Cf
6C2
*I
2
-2
1
-1
-1
1
0
2
-2
e*
—e
8
0
Bi
2
-2
є
-є*
—e
0
Два комплексно сопряженных представления ?2 и ?3 вместе дают
4 -4 -1 +1 +1 -1 0
R
8C3
8С2
6С2
12C2
6C4
6С|
?
R
8C3
8Cf
652
12а
6S4
65^
2
-2
1
-1
0
0
V*
-V*
2
-2
1
-1
0
0
-v2
v2
4
-4
-1
1
0
0
0
0
Продолжение таблицы I
236 Г. А. ЯН
работам [5] и [7], мы не включили в таблицу характеры тех групп, которые представляют собой прямые произведения одной из групп, уже имеющихся в таблице, и инверсии или отражения. Действительно, представления этих групп легко получить непосредственно. Следуя Бете, введем новый элемент симметрии R1 обозначающий поворот на угол 2я вокруг любой из осей молекулы и коммутирующий со всеми элементами группы. Добавляя его к исходной группе симметрии, мы получаем двойную группу, которую будем обозначать индексом г, приписываемым к символу простой группы. Следует отметить, что двойная группа не равна прямому произведению элемента R на исходную группу, поскольку меняются и соотношения между ее элементами. Так, например, в группе Dr2p мы имеем Cl = R, а в группе D2p Cl = E1 где C2 — поворот на угол я относительно одной из двух осей второго порядка. Двузначные представления группы симметрии становятся теперь однозначными представлениями двойной группы симметрии, и характеры их вычисляются обычным образом.
Для доказательства теоремы нужно выяснить, существует ли для молекулы данной симметрии хотя бы один набор не полностью симметричных смещений, преобразующийся по такому представлению V1 что произведение V[O2} содержит единичное представление; при этом Ф есть любое двузначное представление данной группы симметрии. Как и раньше, представление V не может быть единичным, так как мы всегда считаем, что молекула устойчива относительно всех полностью симметричных смещений. Легко показать (см. ниже), что антисимметричное произведение любого двумерного представления самого на себя равно единичному представлению. Соответственно произведение (/{Ф2} не может содержать единичного представления, если само представление V—не единичное. Таким образом, надо рассмот-
