Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
41
Обобщенное правило отбора. Пусть tynai, фя,а,,, и ?/ суть партнеры в базисах неприводимых представлений некоторой группы. Тогда (строго)
(+**.mww)=°. (4-33)
если представление прямого произведения Гц X Гр X Га> не содержит тривиального представления Г,.
Доказательство этой теоремы основано на другом очень важном и полезном следствии теории представлений: папа' возможных произведений базисных функций ^Iv1IW неприводимых представлений Га и IV образуют базис представления Го X IV. Если это представление приводимое, то можно найти такие линейные комбинации функций ^Iv1IW» К0Т0Рые составляют базисы неприводимых представлений, содержащихся в Га X Га,:
v?/« %{oa?U'№M«r (4.34)
(в случае полной группы вращений названные линейные комбинации определяются коэффициентами Клебша — Гордана).
В дальнейшем равенство (4.34) будет использоваться для более прикладных целей. Сейчас, однако, мы воспользуемся им для доказательства теоремы (4.33), считая, что в принципе можно использовать функции M?j и трп,аЧ, для построения базисов некоторого неприводимого представления TY:
- Jj/4^ і У® Afw1W . (4.35)
Обращая это равенство, имеем
%W = 2 (Y* I a'?/7) Vyk. (4-36)
где (yk\a>'fti'j)—элементы матрицы, обратной (a'?f'/lv*)- отметим, что, в зависимости от произведения представлений T? X Га/, а может либо появиться, либо не появиться в сумме по у- В последнем случае все скалярные произведения
(фпаЛ) (4.37)
равны нулю, так же как и матричные элементы (4.32). (Тот факт, что скалярное произведение (4.37) равно нулю, легко доказать, полагая в теореме о факторизации H=I. Мы вправе это сделать, так как при доказательстве названной теоремы
42
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. If
использовалась только коммутативность операторов H и Р.) Остается только показать, что если произведение представлений Га X T? X Га/ не содержит Tu то произведение представлений T? X Га' не содержит Га. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.
4.3. Построение базисных функций
Читатель, естественно, может быть недоволен тем обстоятельством, что, хотя его и познакомили с двумя очень полезными теоремами, пользоваться ими он может с трудом, ибо неизвестно, как найти истинные функции неприводимого представления. У него может даже сложиться впечатление (почерпнутое из литературы), что базисные функции находят либо по догадке, либо если повезет, либо, наконец, с помощью черной магии. Черная магия, действительно, дает нам корректный метод, и ее секреты можно сформулировать следующим образом. Строят проекционный оператор (из унитарного неприводимого представления)
OF-^J^TM^PiR). (4.38)
* R
Этот оператор порождает базисные функции представления Га, действуя на любую функцию F1 для которой вообще определена операция P(R)F. Таким путем можно получить и тривиальный результат, OaqF — О, но это — только неудобно, но не некорректно. Более точно это можно сформулировать следующим образом.
Проектирование базисных функций. Множество функций OaqFy где F — произвольная функция координат, на которую действует О™ (q фиксировано), образует базис представления Га. Более того, функции Oa4F принадлежат р-му ряду. (Замечание: функция Oa9F может тождественно равняться нулю; нельзя, например, спроектировать d-функ-цию на 5-функцию.)
Эта теорема доказывается в лоб. Покажем, что равенство (4.17) справедливо для функций
**eT S ТаЩд P(R)F = Oj?F. (4.39)
ГЛ. 4] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 43
г
E J
г, г2
1 1 1 -1
Пользуясь оператором О™, легко найти функции с симметрией Гі и Г2. Пусть f(x) —произвольная функция; тогда
Ol1 /(X) = \ [T1 (EYn P (E) f (X) + T1 (JYn P (J) f (*)], (4.41) O1Jf (х) « \ [Г, (EYnP (E) f (X) + T2 (JYn P (J) f (х)}. (4.42)
Так как P(E)f(x) = f(x) и P(J)f(x) = f(—x), эти равенства принимают вид
0\lf(x) = ±[f(x) + f(-x)) и Ol2lf(x) = ±U(x)-f(-x)].
Удобно вместо длинных названий «функция с симметрией Гі» или «функция с симметрией Г2» говорить просто о «четных» или «нечетных» функциях.
Множитель njg не гарантирует нормировку базисных функций в обычном квантовомеханическом смысле, и соответствующее
Действительно, P(S)%, = f 2Г»W%P(SR)F = ^K(S-1 T))q P(T)F =
R T
T /
/ г
=S г« <s>/< - E г« (% *»/• <4-4°)
Здесь мы всюду пользовались свойством унитарности; читатель легко сам перепишет проекционный оператор для неунитарного случая.
Простой пример применения проекционной техники дает нам группа второго порядка, состоящая из единичного оператора и оператора инверсии по одной переменной. Такая группа имеет два неприводимых представления:
44 СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ [Ч. Il
условие всегда должно проверяться. Однако и в настоящем виде проекционный оператор имеет ряд полезных свойств:
1) Og*Oj? = oafibqrOPaS. (4.43) Например,
(OZT = OS?. (4.44)
2) Оператор О может обратить функцию в нуль или поменять местами партнеров базиса,
0а%= 6a?6/A<. (4'45)
3) Если на произвольные функции FwF' подействовать оператором О, то
