Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 16

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая


Av.,*w = e'w+m. '(5.14)

ГЛ. 5] НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП 47

Используя (5.6), получаем отсюда

е^г^т = е1т^т. (5.15)

Разложение (5.15) с точностью до членов первого порядка дает

/zi|)m = m\|)m. (5.16)

Пользуясь операторами сдвига и соотношениями (5.11), можно показать, что из условия (5.12) вытекают равенства

i2 (/+гП = (/+/, + /+) Ът = (т + i)(i+^) (5.17)

/ж (5.18)

Таким образом, если функция \|>w преобразуется по m-му представлению, то /±г|эт — по (т ± 1)-му.

Будем приводить конечномерное пространство по отношению к группе двумерных вращений. При этом в рассматриваемом множестве будет функция, отвечающая максимальному значению т. Обозначим это значение через /, а саму функцию — через i|>f. Так как пространство инвариантно относительно всех вращений, то функция Z++}, преобразующаяся по (/'+ I)-My представлению, также принадлежит этому пространству. Это может означать лишь, что Z+^ = O. Тогда для определения последовательности функций i^-1, о|^~2, ... можно использовать оператор /_. Как и в теории момента количества движения [3], можно показать, что названная последовательность обрывается на функции о^7, так как IjtyJ1 = 0. Прямые вычисления показывают, что эти базисы связаны следующими соотношениями:

/++"-/(/-«)(/ + ^+0+^1. (5.19)

/-itff1 = /(/ + m)(/-m+l) ^Г1, (5.20)

I2^f = т^. (5.21)

Функции, определяемые равенствами (5.19) — (5.21), иногда называют стандартными базисами полной группы вращений. Функции ^1J1 ортонормированы, ибо они преобразуются по различным представлениям группы двумерных вращений. Определенное таким путем (2/+ 1)-мерное пространство функций я^""1, ...

г|>~/ инвариантно относительно преобразований /+, Z_ и /г, а потому и относительно всех вращений. Ясно, что такое пространство неприводимо. Следовательно, мы нашли базис (2/ + 1)-мерного неприводимого представления группы трехмерных вращений. При этом индекс / принимает только целочисленные

48

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. u

значения, поскольку мы исходили из представлений двумерной группы. Это означает, что при вращении R векторы связаны равенством

^/=HoUU«)t/'. (5.22)

т'

аналогичным формуле (4.17) для конечных групп.

Матричные элементы и характеры рассматриваемых представлений удовлетворяют соотношениям ортогональности, представляющим собой прямое обобщение аналогичных соотношений для конечных групп. Именно:

J Dft> (R) D& (RY dxg = ou?o,,eoy/ J dx€ (5.23)

и

J X™ (R) X(v) (RY dxg = 6,v J dxg. (5.24)

В формуле (5.22) представления группы вращений и соответствующие матричные элементы обозначены по традиции через D<j>. Размерность т-го представления равна d^ элемент интегрирования dxg определяется через параметры непрерывной группы и их дифференциалы.

Легко найти классы и характеры группы вращений. Рассмотрим вращение вокруг оси ? на угол ф, обозначив его через Rq^ Пусть преобразование R(S) переводит ось ?' в |. Тогда справедливо соотношение

R'1 (S) Ry1R(S)^Rw. (5.25)

Равенство (5.25) вытекает из того, что преобразование R(S) переводит ось I' в g, R(ii осуществляет вращение на угол ф вокруг оси |, a R-{ (S) возвращает ось в ее первоначальное положение. Следовательно, все вращения на один и тот же угол принадлежат одному классу полной группы вращений. Наиболее простое из них есть вращение Rq2 вокруг оси г. Так как для любого представления

R^? = eimW>

то

sin (/+ і) ф *

AШ = > е*«* =-V . (5.26)

jLJ sin т ф

В частности, следует отметить базис неприводимых представлений полной группы вращений, задаваемый сферическими гармониками. Последние появляются в теории атомных спектров как

ГЛ. 51 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП

49

решения угловой части уравнения Шредингера, получаемого после разделения переменных:

ЬЬгж(5ІпЄж) + 1пк |И Y^ 9)--1(1+1) Y(Q, ,). (5.27)

Здесь Э и ф — обычные полярные углы, а / — целое положительное число или нуль. Оператор в уравнении (5.27) представляет собой не что иное, как угловую часть оператора Лапласа. Он инвариантен относительно вращений, поэтому его собственные функции Y образуют базис представления группы вращений. Размерность представления равна (21 + 1), а партнеры базиса суть сферические гармоники

Здесь Nlm — нормировочный множитель, Pi (cos 9) — присоединенная функция Лежандра. Индекс т пробегает значения /, /—1, —/. При рассмотрении сферических гармоник требуется известная осторожность в выборе фаз. В дальнейшем мы всегда будем следовать Кондону и Шортли [4] (см. гл. 2).

Следует подчеркнуть, что функция г YT представляет собой полином /-го порядка относительно декартовых координат. Несколько первых сферических гармоник даны в табл. 11.1 (стр. 100) в декартовых координатах. Отметим, что переменные х, у, z преобразуются по представлению D({\ хотя и не как стандартные базисные векторы.

Группу трехмерных вращений можно до некоторой степени обобщить, составив ее прямое произведение на группу второго порядка Си состоящую из операторов тождественного .преобразования и инверсии, /. Последний меняет знаки прямоугольных координат. В результате получается так называемая группа вращений с отражениями, в которую входят теперь как собственные, так и несобственные вращения. Базис представления D{± этой группы можно получить, вычислив новые векторы
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed