Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Особенно важным является регулярное представление. Будем рассматривать все элементы группы как матрицу с одним столбцом (матрица (g X 1)) и умножим ее справа на некоторый элемент группы:
E
A1
A2
A2A1
A3
A3At
Ai =
а\.
AgA1
Тогда результирующая матрица содержит каждый элемент группы один и только один раз (по теореме таблицы умножения). Следовательно, ее можно представить как произведение матрицы перестановки на исходную матрицу; например, для группы D3
E
L
0
0
0
1
0
0
E
J
N
0
0
0
0
0
1
J
К
M
0
0
0
0
1
0
к
L
L =
E
1
0
0
0
0
0
L
M
К
0
0
1
0
0
0
M
N.
J.
0
1
0
0
0
0
rA(L)
*) В более общем виде приводимые матрицы определяются следующим образом:
(T1(R)I 0 \
Мы, однако, будем рассматривать только унитарные представления, для которых, как можно показать, C(R) = 0,
ГЛ. 3]
ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
23
Множество g матриц вида (g X g), построенных указанным способом, называют регулярным представлением и обозначают через Tr(Аі). Сразу видно, что Tn(E) есть единичная матрица (gXg). Кроме того, легко убедиться, что у остальных g—1 матриц, например у Tr(L), диагональные элементы равны нулю.
3.2. Неприводимые представления и соотношения ортогональности
Неприводимые представления групп играют главную роль в применении теории групп в квантовой механике, и уже сейчас стоит показать, почему это так. Рассмотрим приводимое представление, элементы которого суть матрицы типа (3.5), и составим произведение двух таких элементов:
/Г, (#) і О У Г, (S)
T2(S)
\ T2(R)JX О
Нетрудно показать, что это произведение имеет вид (T1(R)T1(S)] 0 \
VоTtIJr]K(S))'
(3.6)
(3.7)
Поскольку Г есть представление, это произведение должно равняться T(RS), и, следовательно, можно написать, пользуясь равенством (3.5):
(™?........"........¦). ,3.8)
V О IT2(RS)J
Из сравнения формул (3.7) и (3.8) следует, что Гі и Г2 также суть представления той же группы. Таким образом, приводимые представления «содержат» более одного представления. Если представления Гі и Г2 сами по себе также приводимы, то вышеуказанную процедуру можно продолжить до тех пор, пока в диагональных блоках матрицы Г не появятся только неприводимые представления. Представление Г, таким образом, содержит эти неприводимые представления.
Важность всего изложенного следует из двух фактов: 1) разложение, приводимого представления на его неприводимые компоненты единственно; 2) свойства неприводимых представлений нетривиальны и очень полезны. Все эти свойства вытекают из условий ортогональности, обязательных для всех неприводимых представлений.
24
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. ІГ
R а
Сумма берется здесь по всем элементам группы. Символ ба|5 интерпретируется следующим образом:
' а) 0, если Га и F? не эквивалентны, т. е. не существует матриц 5 таких, что S-1F0S = Tp; б) 1, если Га и Гр тождественны; аР в) не определен, если матрицы Га и Гр эквивалентны (т. е. связаны преобразованием подобия), но не ( тождественны.
Если представления Га и Гр унитарны, то соотношения между ними упрощаются:
R
Доказательство соотношений ортогональности можно найти в любой книге по теории групп. Они основаны на двух вспомогательных теоремах, которые обычно называют леммами Шура и которые применимы к любым матричным множествам, независимо от того, дают ли последние представления групп. Для удобства приведем здесь эти леммы.
Первая лемма Шура. Представление Га неприводимо тогда и только тогда, когда единственные матрицы, коммутирующие с Ta(R) для всех R1 суть скалярные матрицы.
Вторая лемма Шура. Пусть заданы два неприводимых представления Га и T? и матрица M такая, что MTa(R) = Tq(R)M для всех элементов R данной группы. Тогда: а) если па Ф n?, то прямоугольная матрица M равна нулю; б) если па = /2?, то квадратная матрица M либо равна нулю, либо несингулярна. В последнем случае представления Га и T? эквивалентны.
Эффективность соотношений ортогональности проще всего почувствовать на конкретных примерах. Матрицы, приведенные в табл. 3.1, дают представления группы D3.
Проиллюстрируем соотношения ортогональности, сначала между матричными элементами представлений Гг и T30:
S г2 (A)111*,?,=і. о+1 (4^)+1 [Щ+(- о (4^-)+
я _
+ (-1)(^) + (-1)-0 = 0; '(3.11)
ГЛ. 3] ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 25
Таблица 3.1. Представления группы D3
к
«3?
s Щ
Элемент группы
\ Обозначен представле
в
/
К
M
г,
г,
г<» г?
1
с':) а
1 1
1 / -1 V2\
Ci J)
1 I
2 \Vs -1 )
(J J)
1
t: J)
1
-1
і ( і Vs] 2Vj^-ij
а
1
г;':) (J J)
*) Представления, обозначенные через Г3, эквивалентны; мы обозначили их одной и той же буквой, чтобы подчеркнуть этот факт. Представление можно получить из ,
пользуясь соответствующей матрицей 5, а именно = Sri^S*""*.