Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 8

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 144 >> Следующая


Особенно важным является регулярное представление. Будем рассматривать все элементы группы как матрицу с одним столбцом (матрица (g X 1)) и умножим ее справа на некоторый элемент группы:

E

A1

A2

A2A1

A3

A3At


Ai =


а\.

AgA1

Тогда результирующая матрица содержит каждый элемент группы один и только один раз (по теореме таблицы умножения). Следовательно, ее можно представить как произведение матрицы перестановки на исходную матрицу; например, для группы D3

E

L

0
0
0
1
0
0

E

J

N

0
0
0
0
0
1

J

К

M

0
0
0
0
1
0

к

L
L =
E

1
0
0
0
0
0

L

M

К

0
0
1
0
0
0

M

N.

J.

0
1
0
0
0
0



rA(L)

*) В более общем виде приводимые матрицы определяются следующим образом:

(T1(R)I 0 \

Мы, однако, будем рассматривать только унитарные представления, для которых, как можно показать, C(R) = 0,

ГЛ. 3]

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

23

Множество g матриц вида (g X g), построенных указанным способом, называют регулярным представлением и обозначают через Tr(Аі). Сразу видно, что Tn(E) есть единичная матрица (gXg). Кроме того, легко убедиться, что у остальных g—1 матриц, например у Tr(L), диагональные элементы равны нулю.

3.2. Неприводимые представления и соотношения ортогональности

Неприводимые представления групп играют главную роль в применении теории групп в квантовой механике, и уже сейчас стоит показать, почему это так. Рассмотрим приводимое представление, элементы которого суть матрицы типа (3.5), и составим произведение двух таких элементов:

/Г, (#) і О У Г, (S)

T2(S)

\ T2(R)JX О

Нетрудно показать, что это произведение имеет вид (T1(R)T1(S)] 0 \

VоTtIJr]K(S))'

(3.6)

(3.7)

Поскольку Г есть представление, это произведение должно равняться T(RS), и, следовательно, можно написать, пользуясь равенством (3.5):

(™?........"........¦). ,3.8)

V О IT2(RS)J

Из сравнения формул (3.7) и (3.8) следует, что Гі и Г2 также суть представления той же группы. Таким образом, приводимые представления «содержат» более одного представления. Если представления Гі и Г2 сами по себе также приводимы, то вышеуказанную процедуру можно продолжить до тех пор, пока в диагональных блоках матрицы Г не появятся только неприводимые представления. Представление Г, таким образом, содержит эти неприводимые представления.

Важность всего изложенного следует из двух фактов: 1) разложение, приводимого представления на его неприводимые компоненты единственно; 2) свойства неприводимых представлений нетривиальны и очень полезны. Все эти свойства вытекают из условий ортогональности, обязательных для всех неприводимых представлений.

24

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. ІГ

R а

Сумма берется здесь по всем элементам группы. Символ ба|5 интерпретируется следующим образом:

' а) 0, если Га и F? не эквивалентны, т. е. не существует матриц 5 таких, что S-1F0S = Tp; б) 1, если Га и Гр тождественны; аР в) не определен, если матрицы Га и Гр эквивалентны (т. е. связаны преобразованием подобия), но не ( тождественны.

Если представления Га и Гр унитарны, то соотношения между ними упрощаются:

R

Доказательство соотношений ортогональности можно найти в любой книге по теории групп. Они основаны на двух вспомогательных теоремах, которые обычно называют леммами Шура и которые применимы к любым матричным множествам, независимо от того, дают ли последние представления групп. Для удобства приведем здесь эти леммы.

Первая лемма Шура. Представление Га неприводимо тогда и только тогда, когда единственные матрицы, коммутирующие с Ta(R) для всех R1 суть скалярные матрицы.

Вторая лемма Шура. Пусть заданы два неприводимых представления Га и T? и матрица M такая, что MTa(R) = Tq(R)M для всех элементов R данной группы. Тогда: а) если па Ф n?, то прямоугольная матрица M равна нулю; б) если па = /2?, то квадратная матрица M либо равна нулю, либо несингулярна. В последнем случае представления Га и T? эквивалентны.

Эффективность соотношений ортогональности проще всего почувствовать на конкретных примерах. Матрицы, приведенные в табл. 3.1, дают представления группы D3.

Проиллюстрируем соотношения ортогональности, сначала между матричными элементами представлений Гг и T30:

S г2 (A)111*,?,=і. о+1 (4^)+1 [Щ+(- о (4^-)+

я _

+ (-1)(^) + (-1)-0 = 0; '(3.11)

ГЛ. 3] ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 25

Таблица 3.1. Представления группы D3

к
«3?
s Щ
Элемент группы

\ Обозначен представле
в
/
К

M


г,
г,
г<» г?
1
с':) а
1 1
1 / -1 V2\
Ci J)
1 I
2 \Vs -1 )
(J J)
1
t: J)
1
-1
і ( і Vs] 2Vj^-ij
а
1
г;':) (J J)

*) Представления, обозначенные через Г3, эквивалентны; мы обозначили их одной и той же буквой, чтобы подчеркнуть этот факт. Представление можно получить из ,

пользуясь соответствующей матрицей 5, а именно = Sri^S*""*.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed