Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Гз X Г3 = Гі + Г2 + Г3.
32
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Здесь произведение и сумма суть прямые матричные произведение и сумма.
C1
C2 C3
Xi
і
1 1
Xi
1
I -1
Xz
2
-1 0
X (Г, X Г3)
2
-1 0
X (Г3 X Г8)
4
і 0
Критерий неприводимости (3.24) весьма полезен. Он снимает всякие сомнения, которые могут возникнуть относительно неприводимости представления Гз группы D3. Равенство (3.24) можно легко доказать. Необходимость его вытекает из соотношения ортогональности (3.18), если представить левую часть последнего в виде суммы по элементам группы с номерами а = ?. Допустим теперь, что представление Га приводимо:
і і
где Гг-— неприводимые представления. Из формулы (3.18) следует, что
Пусть, с другой стороны, равенство (3.24) задано. Тогда единственный возможный набор pi — такой, в котором все эти числа равны нулю, за исключением одного, /?а=1. Таким образом, представление Га—-уже неприводимое; иначе говоря, равенство (3.24) составляет достаточное условие неприводимости Га.
Наконец, несколько слов о теоремах перечисления. Вывод формулы (3.25) и доказательство предшествующего утверждения (а), стр. 29, читатель легко получит сам, вспомнив (§ 3.1), что для регулярного представления Xr(E) = g и Xr(A* Ф E) = 0. Тогда из равенства (3.21) сразу следует утверждение (а). Пункт (б) составляет одну из самых изящных теорем теории представлений; ее легко доказать, пользуясь соотношениями (3.18) и (3.19). Действительно, пусть имеется г' неприводимых представлений. Положим в (3.19) / = /. Суммируя по всем классам, получим
І) І A1-Ixn(C,)I2= Ъё = §г.
i~\ a-l |„і
ГЛ. 4]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
33
Положим далее в (3.18) а = ?; суммируя по а, получим аналогично:
а=1 I = I
а=1
Поскольку левые части этих равенств одинаковы, мы имеем г' = г, т. е. число неприводимых представле- j
ний равно числу классов.
Теоремами перечисления можно воспользоваться для однозначного определения размерностей неприводимых представлений конечных групп почти во всех случаях, представляющих практический интерес. Рассмотрим группу трехмерных вращений, которая переводит квадрат в самого себя (D4). Она содержит четыре вращения вокруг оси, пер- Рис. 3.2. Оси, со-пендикулярной к плоскости, проходящей через ответствующие че-ее центр, E1 X1 У, Z (т. е. вращения на углы тырем вращениям 0°, 90», 180° и 270° по часовой стрелке) и че-тыре вращения на 180 градусов (Л U1 V1 W) рат переходит сам вокруг осей, показанных на рис. 3.2. Легко в себя. Четыре показать, пользуясь таблицей умножения, что других вращения, названная группа делится на пять классов, ъ™^ш**ЛУи'а а именно, {E)1 {Y)1 {X1 Z)1 {Г, U) и {V, W). Та- пу 04VeKCTe ким образом, мы имеем здесь пять неприводимых представлений. Равенство (3.25) дает п\ +п\-\-п\ +п\ + + Аг|==8. Это соотношение удовлетворяется набором чисел {па} = = {1, 1, 1, 1,2}.
Литература
1. Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961, гл. 9.
2. В. Хейне, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963, гл. 14.
ГЛАВА 4
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
4.1. Преобразования волновых функций
В квантовой механике часто встречаются функции многих (п) переменных, / = f(x\, х2, хп). Мы будем записывать их в виде /(х),где X — вектор в д-мерном пространстве. Посмотрим, как изменяются эти функции при вещественных ортогональных
3 Р. Нокс, А. Голд
34
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. II
преобразованиях координат. Запишем последние *) в виде
или просто
4-2*1/*/ (4.1)
/«і
xf = Rx. (4.2)
При этом, если коэффициенты Rij рассматриваются как элементы матрицы R9 то
R-1= R = /?+ (4.3)
(см. Приложение).
Функцию f(x) можно переписать в новой координатной системе. Пусть, например, она описывает барометрическое давление в зависимости от широты и долготы (карта погоды), а матрица R описывает вращение системы координат на этой карте. Говоря о рассматриваемой функции в новой координатной системе, будем пользоваться обозначением
P(R)f(*'i> *'v <> Поскольку погода где бы то ни было не может зависеть от того, вращает ли метеоролог свою координатную систему, должно быть справедливо соотношение
я(*)/(*;, <)=
ef(jcp x29 xn) (4.4)
или
P(R)f(x') = P(R)f(Rx)=f(x).
Подчеркнем, что знак равенства означает здесь одинаковые численные значения рассматриваемой функции в соответствующих точках, но отнюдь не один и тот же функциональный вид ее в разных системах координат. Это можно видеть на рис. 4.1. Мы можем формально определить операцию, обратную P (R)9 вводя матрицу, обратную R9 по аналогии с (4.4): /
P (R)-1I (R-l*)=f {*) • (4.5)
Рис. 4.1. «Карта погоды», на которой изображена функция P(R)f(x\, ^)== ==/ (*ь Контурами изображены «изобары» (кривые постоянного давления).
*) Это есть ортогональное преобразование координат xi либо перестановка индексов частиц (т. е. Rx$ « х\ и т. д).
