Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ЙЛ, 1959, гл. VI.
4. Е. Ко н дон, Г. UJ орт л и, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949, гл. 3.
5. Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
6. В. X е й н е, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963, Приложение!.
ГЛАВА 6
«ДВОЙНЫЕ» ГРУППЫ
Трактовка представления о спине приобретает элегантный и законченный характер только в рамках полностью релятивистской квантовой теории. Однако и в нерелятивистской физике спиновые эффекты столь распространены, что в течение многих лет успешно использовалось обобщение стандартного аппарата теории групп на случай частиц со спином. Эта процедура довольно утомительна и не очень очевидна. Например, в этом случае уже нельзя просто получать проекции волновых функций, пользуясь операторами, введенными в гл. 4. Функция
где X обозначает пространственные, а а — спиновые координаты частицы, не существует, так как выражение R~lo не определено. Координаты о могут принимать только конечный набор значений ms, ms— 1, . •., — ms. Оператор P(R) необходимо заменить более общим, О (R), причем (в случае частиц со спином 7г)
P(R)^(X, a) (/?"'*, /?-"а),
(6.1)
(6.2)
ГЛ. б]
«ДВОЙНЫЕ» ГРУППЫ
63
Ниже мы увидим, что представляет собой матрица D<!/*>, и рассмотрим математические соображения, позволяющие учесть наличие спинового момента количества движения в рамках общей схемы гл. 5.
Все дальнейшее представляет собой, в сущности, конспект некоторых разделов книги Вигиера [1]. Мы даем ссылки на соответствующие ее главы и параграфы, настоятельно рекомендуя читателю обратиться к ним для более детального ознакомления.
В предыдущих главах мы рассмотрели группу собственных вращений /?(3). Элементы ее, /?, преобразуют одну совокупность координат (дсь х2, X3) в другую (x'v xrv х'3) с помощью трехмерной ортогональной матрицы (З X 3). Существует и более компактный способ выполнить то же преобразование с помощью двумерной матрицы (2X2). Прежде всего, однако, надо обратить внимание на три существенных обстоятельства ([1], § 15.3):
а) Матрица, преобразующая вещественный вектор в вещественный, вещественна.
б) Матрица 0 унитарна, если она оставляет неизменной длину любого вектора v:
(vyv) = (0vy0v). (6.3)
в) Наиболее общая форма двумерной унитарной матрицы с детерминантом, равным единице (двумерной унитарной унимо-дулярной матрицы), есть
(6.3а)
«X-I1 oj* "•"I-/ OJ' = ( 0 IJ- (6-4)
Рассмотрим теперь спиновые матрицы Паули
0 1\ / 0 /\ /-10
Матрица
Л = г.а= . * (6.5)
\х — iy Z 1
эрмитова, если значения г вещественны. С помощью унитарной, унимодулярной матрицы и ее можно преобразовать в новую матрицу h! того же вида:
uhu+-V-(,^ 2, j-r'.o. (6.6)
54
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. И
Как показывает прямое вычисление, компоненты вектора / даются равенством
f (a2+ a*2-ft2-ft*2) ^/(a2-a*2+ft2--&*2) a*ft* + aft
±і(а*2-а2+Ь2-Ь*2) f (a2+ a*2+ ft2+ ft*2) /(a*ft*-aft) - (a*ft + aft*) / (a*ft - aft*) aa* - ft ft*
Ru (6.7)
Матрица /?« зависит от элементов и и характеризуется следующими свойствами:
а) Матрица Rn вещественна, если вещественны X1 //, г. Доказательство: если X1 у, z вещественны, то матрица h' эрмитова
и координаты х\ у\ z' вещественны; далее остается лишь воспользоваться формулами (6.3а).
б) Матрица Rn описывает вращение. Доказательство: det h = det W1 следовательно
ігічгг
в) det/?„=l. Доказательство: при и -> 1 det Ru -> 1. В силу свойства (б) достаточно вычислить только какое-нибудь одно значение det Rn.
Из сказанного следует, что, задавая унитарную унимоду-лярную матрицу U1 мы полностью определяем вращение в трехмерном пространстве. Для этого всегда нужны три параметра: два из них определяют положение оси вращения, а третий дает угол поворота. Из четырех параметров, входящих в матрицу U1 свободны три, так как вещественные и мнимые части величин а и ft связаны условием (6.3а).
Хотя матрица Rn однозначно определяется через и с помощью упомянутой выше трехмерной матрицы, обратное неверно. Из формы последней матрицы видно, что обе матрицы, и и —U1 приводят к одной и той же матрице R±u. Следовательно, задавая
Рис. 6.1. Эйлеровы углы. Сначала производится поворот сферы на угол a вокруг оси Z1 затем — на угол ? вокруг оси, перпендикулярной к плоскости NOE1 и, наконец, на угол Y вокруг оси OP.
ГЛ. 6]
«ДВОЙНЫЕ» ГРУППЫ
55
вращение {a?y}> можно вычислить матрицу и только с точностью до знака:
/ ~ Ma+у) 1 0 —Ma-Y) . I Q\
/ Є 2 COSy? -Є 2 Siny? \
и= ± , г . (6.8)
\ f-Ma-Y) . 1 Q TMo+Y) 1 а J
\е2 Siny? Є2 COSy? /
Здесь {a?y} суть эйлеровы углы вращения, которое описывается матрицей и (рис. 6.1); вывод формулы (6.8) дан в книге [1], § 15.4. Таким образом, группа матриц и находится в двузначном соответствии с /?(3):
— иг
Отсюда следует, что
ии' = и"-+RuRu' = Ru»* RuRu' = Ru" -*ии'=± и".
