Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Литература
1. Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
ГЛАВА 7
СИММЕТРИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ многих ЧАСТИЦ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ
Опыт показывает, что волновая функция системы N одинаковых частиц либо симметрична, либо антисимметрична относительно перестановки индексов частиц. В первом случае частицы называют бозонами, во втором — фермионами. Слова «симметрична» и «антисимметрична» относятся здесь к изменению знака волновой функции при перестановке индексов двух частиц. Например, для симметричной функции, описывающей состояние системы четырех одинаковых частиц, справедливо равенство
(7.1)
ГЛ. 7) СИММЕТРИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 59
в то же время для антисимметричной функции мы имеем
4F (г„ г4, г3, г2) = - 4F (г„ г2, г3, г4). (7.2)
Функции, стоящие в левых частях (7.1) и (7.2), получаются из исходных перестановкой индексов второй и четвертой частиц. Их можно записать в операторной форме как P (T24)1P (гьг2, г3, г4). Оператор Г24 действует на индексы частиц, и его можно рассматривать как частный случай более общего оператора перестановки
/1 2 3 ... N\ ... . . (7.3)
\/i h /з InI
который меняет частицу 1 на j\ и т. д.
Простая перестановка частиц 2 и 4 записывается следующим образом:
/1 2 3 4\
(l 4 3 2Н- <™>
Так как существует Nl возможных перестановок N объектов, мы можем построить Nl операторов типа (7.3). Для простоты мы будем часто писать вместо (7.3) символ R* понимая под ним любую из Nl перестановок. Тождественная перестановка записывается в виде
1 2 3 ... N\
I 2 з...л/Н- <7-5)
Легко показать, что операторы R образуют группу, которую называют симметрической.
Рассмотренные выше свойства симметрии и антисимметрии волновых функций легко включить в схему теории групп. Основная цель этой главы как раз и состоит в том, чтобы показать, как применяется в данном случае аппарат теории представлений конечных групп. При этом мы не будем подробно рассматривать способ составления симметризованных собственных функций систем нескольких частиц с заданными значениями момента количества движения и спина: хотя на этой задаче и можно было бы подробнее проиллюстрировать методы теории групп, она мало интересна для теории твердого тела.
Гамильтониан электронов любой многоатомной системы с неподвижными ядрами имеет вид
і 1 + 1 І
Первый член в прямых скобках отвечает кинетической энергии i-го электрона, второй — его потенциальной энергии в поле
60
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЧ. И
неподвижных ядер. Туда же можно включить и другие взаимодействия, зависящие от координат только одного электрона, например, спин-орбитальное взаимодействие или взаимодействия с внешними полями. Последнее слагаемое в формуле (7.6) описывает кулоновское взаимодействие электронов между собой. Независимо от возможной пространственной симметрии функции V(г) видно, что гамильтониан (7.6) обладает еще одним типом симметрии, связанным с тождественностью частиц. Именно, любая перестановка индексов частиц оставляет его неизменным. Таким образом, для всех операторов перестановки R справедливо равенство RH = Н. Из общих соображений гл. 4 немедленно следует, что можно ввести операторы P(R), коммутирующие с Н; соответственно, важно работать с волновыми функциями, преобразующимися по неприводимым представлениям группы операторов P(R). Такие функции можно найти с помощью проекционных операторов Olq:
Здесь ?— любая функция координат, фигурирующих в гамильтониане (7.6). Практически это будет какая-нибудь функция, аппроксимирующая пространственную и спиновую собственную функцию Я. Остается лишь найти неприводимые представления Га симметрической группы.
Сделаем сначала два замечания по поводу предыдущего. Во-первых, хотя свойство перестановочной симметрии гамильтониана многих частиц было продемонстрировано на примере электронов, фактически существенна была только тождественность частиц. Следовательно, равенство (7.7) справедливо для любой системы или подсистемы M тождественных частиц. Во-вторых, почему мы обязаны работать с функцией типа (7.7)? Только для уверенности, что рассмотрены все существенные состояния системы. Рассмотрим, например, систему трех электронов. Пусть мы нашли функции нулевого порядка Ф10)(гр г2, г3), которые, по-видимому, диагонализуют гамильтониан системы Н% но не обладают какой-либо специальной симметрией относительно перестановок. Ясно, что, взяв другой набор Ф[.0) (г,, г2, г3) тех же функций, но с переставленными индексами у частиц, мы получили бы те же диагональные элементы. Однако ставить здесь точку было бы неправильно, так как матричные элементы, связывающие эти два типа состояний,
ар
(R)V-
(7.7)
R
V
(7.8)
ГЛ. 7] СИММЕТРИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 61
E9 (2 з ,j, ! 2), T239 T311 T12. (7.9)
Они образуют группу, изоморфную группе D3 (гл. 1 и 3). Это видно сразу, так как все собственные вращения треугольника только меняют местами его углы (отметим их цифрами 1, 2, 3). Следовательно, элементы (7.9) можно обозначить буквами E1 /, K1 L1 M1 N1 а соответствующие неприводимые представления даны в табл. 3.1 (стр. 24). Для того чтобы воспользоваться равенством (7.7), необходимо более тщательно определить оператор P(R)1 чем это делается в гл. 4. По определениюP(R)F(Rx) = = F(X)1 поэтому P(R) F(x)=^ F(R~]x). Здесь через х обозначена совокупность векторов {г\Г2гг}. Для примера можно рассмотреть матрицу