Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 19

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая


Только наличие знака ± и отличает группу унитарных унимо-дулярных матриц от просто нового представления трехмерной группы вращений #(3).

Вернемся теперь к матричным представлениям группы унитарных унимодулярных матриц. Вигнер (§ 15.5) показал, что все представления*) U(и) можно разделить на четные и нечетные соответственно условиям

1/чет(и) = ?/чет(- U)

или

Uнечет (и) = U адчет ( u)m

По этой причине четное неприводимое представление U будет неприводимым представлением группы /?(3), так как в этом случае знак определяется единственным образом:

D (Ru) D (Ru') = D (Ru") -* (/чет (U) (/чет (W) - (/чет (± UVf) = (/чет (и").

Можно показать, что существует только одно (21 + 1) -мерное неприводимое представление группы /?(3). Поэтому мы получим его, если вычислим четное (21+ 1)-мерное неприводимое представление группы унитарных унимодулярных матриц.

Однако в случае нечетных неприводимых представлений группы унитарных унимодулярных матриц неопределенность в

*) Наша латинская заглавная буква U соответствует готической заглавной букве U в книге Вигнера.

56

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

ГЧ. U

знаке остается; соответственно, здесь мы не имеем представлений группы #(3). Тем не менее в этом случае обычно говорят о двузначных представлениях группы /?(3), ибо матрицы U можно расписать так, как это показано в табл. 6.1. Каждому

Таблица 6.1. Двузначные представления группы R (3)

Элементы матриц и
H

и
— и


Элементы группы R (3)
{000}
V



Название неприводимого представления группы R (3)






Целые или четные представления (нечетной размерности!)
D(0)
да)
с»
VO
1
0 0\
¦о)
0 1/
1
1

Полуцелые или двузначные или нечетные представления (четной размерности!)
D('/2) D<3/>>
с:)
Ьх4
г: -:)
Um (и) инечет W
Um (и) иие іет W
-Um (и)
инечет W -Um (и)
инечет W


вращению Ru, задаваемому углами {a?y}, отвечают две возможные представляющие матрицы четной размерности. Матрицы (JW(U) вычислены в книге Вигнера (§ 15.6). Результат представлен ниже (см. (6.9)). Из него следует, что четные представления соответствуют целочисленным, а нечетные — полуцелым значениям /. По этому признаку и построена табл. 6.1.

Jj(I) лл = V / і V* /(/ + m')l (/ - m')\ (І + т)! (j - пг)\

k

X af~m'k (a)nm'"k bk (b*)k+m-m\ (6.9)

B §§ 15.7, 15.8 и 15.9 Вигнер дает доказательство унитарности, неприводимости и единственности рассмотренных выше представлений. До сих пор последние выражались через параметры матриц и а, а*, 6, 6* (см. (6.3а)). Переходя к эйлеровым углам

ГЛ. 6J

«ДВОЙНЫЕ» ГРУППЫ

57

(ср. (6.8)), мы получаем для всех как истинных, так и двузначных неприводимых представлений группы r(S):

П(П ,(rnav\ v V (-П* ^ (i + m')\(j-m')\(j + m)\(j-m)\ DmnAim))- ^ l) (/-т-*)!(/ +/и'-Л)!*! (* + m-m')l Х

Xe

k

і (mo+m'

Y)(cosy?) (siny?) . (6.10)

Основные свойства величин DO) состоят в следующем:

а) Для полуцелых значений / знак DO) не определен.

б) При целочисленных значениях / базис представления DO) образуется сферическими гармониками Yf.

в) SpD(/) = [sin [j +yjej/sin ye, где є —угол поворота, задаваемого эйлеровыми углами {a?y} (как и было показано в гл. 5 при рассмотрении обычных представлений).

До сих пор при рассмотрении вращений r мы ограничивались только собственными вращениями. Как отмечает Вигнер в § 16.7, неприводимые представления группы 0(3) (группы трехмерных вращений с отражениями) можно получить из неприводимых представлений группы /?(3), составляя прямое произведение последних на неприводимые представления группы си содержащей операторы тождественного преобразования и инверсии (/). Рассмотрим только истинные представления группы /?(3). Каждому из них (DW) соответствуют два неприводимых представления группы 0(3), которые мы обозначим через D+ и D-. Знаки ± обозначают «четность»:

Элемент группы О (3)
{a?vl
J <a?Y)

Неприводимое представле-

/>(0({a?Y})

ние d?>



Неприводимое представле-
fl(/)({a?Y})
-?(/)({a?Y})

ние


Поскольку оператор инверсии J коммутирует со всеми элементами группы ?(3), структура классов не меняется при инверсии, так же как и в двумерном случае (см. Вигнер, § 14.3). С другой стороны, оператор /{a?y} принадлежит новому классу. При этом при всех углах {a?y}, отвечающих углу поворота е, он остается в том же классе, что и /{еОО}, и т. д.

58

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. IT

Коэффициенты Клебша — Гордана для внешнего произведения двух неприводимых представлений получены Вигнером в § 22.9. Мы имеем

Df X D{P = S' DjP. /"—І/—/'і

Здесь индекс р" означает плюс, если р = р', и минус, если /? р'. При вычислении коэффициентов Клебша — Гордана (формула (5.36)) используются только алгебраические свойства представления DW (например, равенства (6.10)); следовательно, эти соотношения будут справедливыми и для полуцелых значений /.

Вернемся теперь к новым операторам О (R), введенным в начале этой главы (см. (6.2)). Заметим, что в то время как группа операторов P(R) изоморфна группе обычных вращений, группа 0(R) изоморфна группе унитарных унимодулярных матриц. Поскольку операторы 0(R) не играют существенной роли при решении задач, связанных с симметрией твердого тела, мы отсылаем читателей, интересующихся ими, к книге Вигнера (гл. 20). Волновые функции систем с полуцелыми значениями спина и сферически симметричными гамильтонианами можно классифицировать, в зависимости от их поведения при вращении, в соответствии с двузначными представлениями D<H D(3/a> и т. д. К этим представлениям мы еще вернемся в гл. 10.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed