Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Только наличие знака ± и отличает группу унитарных унимо-дулярных матриц от просто нового представления трехмерной группы вращений #(3).
Вернемся теперь к матричным представлениям группы унитарных унимодулярных матриц. Вигнер (§ 15.5) показал, что все представления*) U(и) можно разделить на четные и нечетные соответственно условиям
1/чет(и) = ?/чет(- U)
или
Uнечет (и) = U адчет ( u)m
По этой причине четное неприводимое представление U будет неприводимым представлением группы /?(3), так как в этом случае знак определяется единственным образом:
D (Ru) D (Ru') = D (Ru") -* (/чет (U) (/чет (W) - (/чет (± UVf) = (/чет (и").
Можно показать, что существует только одно (21 + 1) -мерное неприводимое представление группы /?(3). Поэтому мы получим его, если вычислим четное (21+ 1)-мерное неприводимое представление группы унитарных унимодулярных матриц.
Однако в случае нечетных неприводимых представлений группы унитарных унимодулярных матриц неопределенность в
*) Наша латинская заглавная буква U соответствует готической заглавной букве U в книге Вигнера.
56
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЧ. U
знаке остается; соответственно, здесь мы не имеем представлений группы #(3). Тем не менее в этом случае обычно говорят о двузначных представлениях группы /?(3), ибо матрицы U можно расписать так, как это показано в табл. 6.1. Каждому
Таблица 6.1. Двузначные представления группы R (3)
Элементы матриц и
H
-и
и
— и
Элементы группы R (3)
{000}
V
Название неприводимого представления группы R (3)
Целые или четные представления (нечетной размерности!)
D(0)
да)
с»
VO
1
0 0\
¦о)
0 1/
1
1
Полуцелые или двузначные или нечетные представления (четной размерности!)
D('/2) D<3/>>
с:)
Ьх4
г: -:)
Um (и) инечет W
Um (и) иие іет W
-Um (и)
инечет W -Um (и)
инечет W
•
вращению Ru, задаваемому углами {a?y}, отвечают две возможные представляющие матрицы четной размерности. Матрицы (JW(U) вычислены в книге Вигнера (§ 15.6). Результат представлен ниже (см. (6.9)). Из него следует, что четные представления соответствуют целочисленным, а нечетные — полуцелым значениям /. По этому признаку и построена табл. 6.1.
Jj(I) лл = V / і V* /(/ + m')l (/ - m')\ (І + т)! (j - пг)\
k
X af~m'k (a)nm'"k bk (b*)k+m-m\ (6.9)
B §§ 15.7, 15.8 и 15.9 Вигнер дает доказательство унитарности, неприводимости и единственности рассмотренных выше представлений. До сих пор последние выражались через параметры матриц и а, а*, 6, 6* (см. (6.3а)). Переходя к эйлеровым углам
ГЛ. 6J
«ДВОЙНЫЕ» ГРУППЫ
57
(ср. (6.8)), мы получаем для всех как истинных, так и двузначных неприводимых представлений группы r(S):
П(П ,(rnav\ v V (-П* ^ (i + m')\(j-m')\(j + m)\(j-m)\ DmnAim))- ^ l) (/-т-*)!(/ +/и'-Л)!*! (* + m-m')l Х
Xe
k
і (mo+m'
Y)(cosy?) (siny?) . (6.10)
Основные свойства величин DO) состоят в следующем:
а) Для полуцелых значений / знак DO) не определен.
б) При целочисленных значениях / базис представления DO) образуется сферическими гармониками Yf.
в) SpD(/) = [sin [j +yjej/sin ye, где є —угол поворота, задаваемого эйлеровыми углами {a?y} (как и было показано в гл. 5 при рассмотрении обычных представлений).
До сих пор при рассмотрении вращений r мы ограничивались только собственными вращениями. Как отмечает Вигнер в § 16.7, неприводимые представления группы 0(3) (группы трехмерных вращений с отражениями) можно получить из неприводимых представлений группы /?(3), составляя прямое произведение последних на неприводимые представления группы си содержащей операторы тождественного преобразования и инверсии (/). Рассмотрим только истинные представления группы /?(3). Каждому из них (DW) соответствуют два неприводимых представления группы 0(3), которые мы обозначим через D+ и D-. Знаки ± обозначают «четность»:
Элемент группы О (3)
{a?vl
J <a?Y)
Неприводимое представле-
/>(0({a?Y})
ние d?>
Неприводимое представле-
fl(/)({a?Y})
-?(/)({a?Y})
ние
Поскольку оператор инверсии J коммутирует со всеми элементами группы ?(3), структура классов не меняется при инверсии, так же как и в двумерном случае (см. Вигнер, § 14.3). С другой стороны, оператор /{a?y} принадлежит новому классу. При этом при всех углах {a?y}, отвечающих углу поворота е, он остается в том же классе, что и /{еОО}, и т. д.
58
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. IT
Коэффициенты Клебша — Гордана для внешнего произведения двух неприводимых представлений получены Вигнером в § 22.9. Мы имеем
Df X D{P = S' DjP. /"—І/—/'і
Здесь индекс р" означает плюс, если р = р', и минус, если /? р'. При вычислении коэффициентов Клебша — Гордана (формула (5.36)) используются только алгебраические свойства представления DW (например, равенства (6.10)); следовательно, эти соотношения будут справедливыми и для полуцелых значений /.
Вернемся теперь к новым операторам О (R), введенным в начале этой главы (см. (6.2)). Заметим, что в то время как группа операторов P(R) изоморфна группе обычных вращений, группа 0(R) изоморфна группе унитарных унимодулярных матриц. Поскольку операторы 0(R) не играют существенной роли при решении задач, связанных с симметрией твердого тела, мы отсылаем читателей, интересующихся ими, к книге Вигнера (гл. 20). Волновые функции систем с полуцелыми значениями спина и сферически симметричными гамильтонианами можно классифицировать, в зависимости от их поведения при вращении, в соответствии с двузначными представлениями D<H D(3/a> и т. д. К этим представлениям мы еще вернемся в гл. 10.