Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
затем между матричными элементами представления Iy:
»1.0 + (- 1)(1) + (0)(- 1) + (- 1)(- 1) + 0- 1 + 1 .0 = 0. (3.12)
Далее, для подобных элементов:
S Hf» (/0,.Hf'Wu-
=44=i=f=3- (3-13)
Наконец, покажем, что соотношения ортогональности неприменимы, если представления эквивалентны, но не идентичны:
Sn» (U)11 If(Jj-J11-1.1+(- !)(-1)+(-1)(0)+
R
+ у(1)+у(0) + (- 1)(-1) = 3^=0. (3.14)
Следует отметить, что в уравнениях (3.11) и (3.12) используются две различные формы соотношений ортогональности,
26
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
f4. !I
соответственно (ЗЛО) и (3.9). Всегда соблазнительно воспользоваться простой формой (ЗЛО), но она неверна, если представление не унитарно. В этом легко убедиться, вычислив, например, сумму
2і?Ч*)ііГР<*Йі---2.
R
Соотношения ортогональности (ЗЛО) можно переписать в особенно наглядной форме, полагая VnJg ' ra(R)ips2yaip(R)\ мы имеем
S Уаір (#) Y?/„ (RT = Oa?Mw = 6<afp), (?/*>- (ЗЛО')
R
Это — точная аналогия соотношению ортогональности для «единичных векторов» в ^-мерном пространстве,
Уаір = (Yaip(?b Уаір(Аі)> •••. yaip(Ag)).
Меняя местами индексы і и р, мы можем построить п2а таких векторов из каждого неприводимого представления; все они должны удовлетворять условию ортогональности. Однако в g-мерном пространстве можно построить не более g взаимно ортогональных векторов; следовательно,
(3.15)
Это — первый признак того, что при конечном значении g нельзя построить сколь угодно много неэквивалентных неприводимых представлений. В частности, в случае групп, особенно интересных для теории твердого тела, число g ограничено, и потому существует лишь конечное число неэквивалентных неприводимых представлений. Мы увидим в разделе 3.3, что фактически в соотношении (3.15) следует оставить только знак равенства.
3.3. Характеры представлений и связанные с ними вопросы
Как мы видели, для конечных групп существует лишь конечное число неприводимых представлений. Полезно было бы табулировать их; при этом, однако, необходимо произвольным образом выбрать то или иное из эквивалентных представлений (при иа>2). Например, в случае группы D3 можно ли считать, что представление Г32) (если забыть, что оно неунитарно) тддое же хорошее, как и T30?
ГЛ. 31 ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 27
E
/ К
L M
Xi
1
1 1
1 1
1
%2
1
1 1
-1 -1
-1
Хз
2
-1 -1
0 0
0
Это — не единственное упрощение. Вспомним, что два элемента некоторого класса, А и ?, связаны соотношением А = X-1BX t где X — некоторый элемент той же группы. Тогда
T9(A)^ Та(Х^)Та(В)Та(Х)
и, как и раньше,
Sp Ta(A)=SpTa(B).
В гл. 1 было показано, что группа D3 состоит из следующих классов: Cx=[E)9 C2 = [J, /(}, C3 = (L, Af, Af}. Следовательно, некоторые сведения в приведенной таблице —лишние. Достаточно указать только характеры классов:
C1
C2
C3
Х2
Хз
1 I
2
1 1
-1
1
-1 0
Введем очень полезное и эффективное понятие — характер представления. Положим
\(R)^SpTa(R) = ^*(R)u* (3.16)
Множество чисел Xa(R)у отвечающих данному представлению (не обязательно неприводимому), называют его характером. Первое и очень существенное свойство: характеры всех эквивалентных представлений одинаковы, так как
Sp S-1TS = Sp SS-1T = Sp Г. (3.17)
(Здесь использована теорема об инвариантности суммы диагональных элементов любого матричного произведения относительно циклической перестановки сомножителей, например SpABC = SpBCA.) Желая теперь перечислить характеры представлений группы D3 (см. раздел 3.2), мы должны считать T3 только один раз:
28
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
f4 II
Довольно часто вместо Xa(R) пишут Xa(Qy понимая под С класс, содержащий элемент R. В этой краткой таблице указаны характеры всех матриц всех неприводимых представлений группы Z)3.
Ниже будет показано, что представление Гз — действительно
неприводимое. Тогда Sm^ = 6 и, следовательно, мы исчерпали
все возможные неэквивалентные неприводимые представления (ср. уравнение (3.15)).
Понятие «характер» очень полезно. Это видно из следующих теорем, которые мы сначала сформулируем, а затем обсудим.
Ортогональность характеров. Пусть Га и Т$— унитарные неприводимые представления группы G. Тогда
ijAiXe(C,)xp(C,r-e6e?. (3.18)
2 hiXa (Ci) %а (С/Г = g6(f (3.19)
(X=I
Здесь в первом случае г есть число классов, а во втором — число неприводимых представлений; hi— число элементов в классе C1.
Эквивалентность представлений. Два представления группы, Га и T?, эквивалентны тогда и только тогда, когда x<t(R) ==X?(R) для всех элементов R группы.
Приведение. Приводимое унитарное представление Г с характерами X (R) может быть представлено в «приведенной» форме
T = P1T1 + ...+PnTn (3.20)
(прямая сумма множеств матриц; представление Га встречается ра раз). Здесь ра — целые неотрицательные числа, определяемые равенством
Ра=4? X(R)Xa(RT* (3.21)
g R
а Га — неприводимые представления группы.
