Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. 4] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 35
у />
Рис. 4.2. Графическая интерпретация функции P (R) f.
H(X) ~ P(R)H(Rx)P(R)-K
(4.11)
а*
Умножим (4.4) слева на этот оператор. Тогда
P(R)-lP(R)f(xf) = f(Rx) = P(R)-lf(x). (4.6)
К числу других легко доказываемых свойств оператора P(R) относятся дистрибутивность
P(R)f8 = P(R)f-P(R)8 (4.7)
и унитарность
(/, g)= J f*g dx,..., dxn = (P (R) f, P (R) g). (4.8)
Можно рассматривать величины R как операторы, переводящие нештрихованные координаты в штрихованные. Альтернативно можно рассматривать P(R) как оператор, действующий на функцию / таким образом, что в точке (x'v x'v Xn) P(R)f имеет то же значение, что и функция f в точке (Xu х2, ..., хп). Эта точка зрения иллюстрируется рисунком 4.2 для одного из контуров рисунка 4.1. Таким путем каждому преобразованию координат R можно поставить в соответствие оператор P(R) (и обратный ему).
Рассмотрим уравнение Шредингера
H(X)^(X)= Е^(х) (4.9)
(оператор H (х) может содержать не только функции от переменных Xi1 но
и соответствующие производные). Пользуясь определениями P(R) и R9 напишем
H (х) (R) [H (х') ф (*')] = P (R) [H (Rx) ф (Rx)] =
= P (R) H (Rx) P (Rr1 ф (*). (4.10)
Так как выражения (4.10) пока что не содержат никаких предположений относительно H(X)1 операторы, входящие в них, должны быть одинаковыми, т. е.
36
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. Tf
Некоторые преобразования координат, которые мы будем называть операциями симметрии, могут оставлять гамильтониан системы совершенно неизменным:
H(Rx)= H (х). (4.12)
Например, гамильтониан атома водорода инвариантен относительно вращения вокруг протона. Интуитивно это очевидно, но проверка довольно утомительна.
Следовательно, для операторов симметрии справедливо соотношение (ср. уравнение (4.11))
Н(х)= P(R)H(X)P(R)'1 (4.13)
или
P(R)H = HP(R).
Таким образом, собственные функции гамильтониана H суть одновременно и собственные функции оператора P(R). Соответственно оператор P(R) может поставить нам хорошие квантовые числа, описывающие состояние системы*). Например, свойство инвариантности гамильтониана водородного атома относительно вращений позволяет нам классифицировать собственные функции системы по значениям орбитального момента количества движения /.
Легко показать, что множество всех преобразований координат, оставляющих гамильтониан системы инвариантным (множество операций симметрии), образует группу. Действительно, пусть Sh/? — два таких преобразования. Тогда и преобразование SR также будет оставлять гамильтониан системы неизменным. В самом деле,
H(SRx)= H(Sx)= Н(х). (4.14)
Так же легко проверяются и остальные групповые свойства. Поскольку каждому из преобразований R можно сопоставить некоторый оператор R, множество последних также образует группу. Ее называют группой уравнения Шредингера. Рассмотрим n-кратно вырожденный уровень, полагая
Нурі = Е\рі (і = 1, 2, ..., п). (4.15)
Если R есть элемент группы уравнения Шредингера, то оператор P(R) коммутирует с Я и, следовательно,
P(R) (H^i) = H[P(R)^] = E[P(R)U (4.16)
*) Это — довольно расплывчатое описание соответствия между теоретико-групповым подходом и более привычными методами квантовой механики. Точную трактовку вопроса можно найти з книге [1].
ГЛ. 4] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 37
Отсюда явствует, что Р(Р)\|?,-— также собственная функция гамильтониана, принадлежащая тому же вырожденному уровню. Следовательно, ее можно представить как линейную комбинацию функций, принадлежащих данному уровню,
Р(А)+/-?г(Я),/*._ (4.17)
Здесь r(R)ij — множество комплексных коэффициентов.
Подействуем на функцию (4.17) другим элементом группы, P(S). Получим
P{S) P{R)fy = gT{R)it P(S)^1-
- S Г (R)11 S Г (S)kl % = S ( S Г (S)ki Г (R)1) ifc. (4Л 8) Но мы знаем также, что
п
P (S) P (R) Vi = P (SR) +/-ST (SR)ki fc. (4.19)
k = 1
Рассматривая числа Г(Р)о* как элементы матрицы V(R) и сравнивая формулы (4.18) и (4.19), получаем
T(SP) = T(S)T(Z?). (4.20)
Таким образом, матрицы Г образуют представление группы уравнения Шредингера. Более того, если волновые функции ор-тонормированы, то
(*. ¦Z)-OIi-(P(A)*, P(P)*) = S SHP);,. Г(Р)*) =
- S г (/?);< г (a)a/ -иг (a)+ г (*)Л/ = [г (R^ г (P)L7 = в„ (4.21)
или
T(P)+T(P) = I (4.210
Следовательно, представление дается унитарными матрицами. Множество функций }рПі (i = 1, 2, п)у для которых выполняется условие (4.17), образует базис представления Г; говорят, что функция tpnj «принадлежит /-му ряду». Отдельные функции называют партнерами по представлению. Представление может быть неприводимым. В этом случае можно доказать исключительно мощные теоремы, относящиеся к матричным элементам оператора Я. Именно важность этих теорем и заставила нас так подробно остановиться на неприводимых представлениях групп.
38
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЧ Il
Волновые функции, принадлежащие вырожденному уровню, образуют базис представления группы гамильтониана. Этим утверждением теория групп связывает свойства симметрии гамильтониана с трансформационными свойствами и степенью вырождения его собственных функций.
