Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 7

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 144 >> Следующая


Выводы, сделанные с помощью соображений симметрии, никак не связаны с явным видом решений волнового уравнения в квантовой механике или уравнения движения — в классической. Эти выводы обусловлены симметрией самого гамильтониана и потому они — точные. Таким образом, мы получаем некоторую безусловно точную информацию о сложной системе, даже когда явное вычисление ее частот или энергий возможно только в грубом приближении. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением аппарата теории групп, позволяющего исследовать свойства симметрии в квантовой механике, где эти свойства особенно полезны. Применение теории групп для исследования классических колебаний очень ясно иллюстрируется в статье Вигнера.

Литература

1. Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, 1957, гл. 10.

2. Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, изд. 2-е, ИЛ, 1959, гл. 10.

3. Е. Р. Wigner, Nachricht. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 1930, p. 133. (См. перевод в этом сборнике, статья JNTs 2.)

4. Е. Кон дон, Г. Шорт л и. Теория атомных спектров. ИЛ, 1949.

ГЛАВА 3

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Как мы видели в гл. 2, можно ожидать, что колебательные и электронные состояния, регулярно ведущие себя при преобразованиях координат, суть «хорошие» состояния системы. Задача глав 3 и 4 состоит в точной и полной формулировке этих соображений, хотя мы и не будем доказывать все соответствующие



20

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. IT

теоремы. Таким путем читатель, по крайней мере, поймет, что ему надо изучать в более подробных монографиях. В этой главе рассматриваются абстрактные свойства представлений групп; в гл. 4 обсуждаются их применения к физическим системам.

3.1. Матричные представления

Термин представление будет впредь использоваться в более узком смысле, чем указано в гл. 1. Под представлением мы будем подразумевать любое множество квадратных матриц, которые, будучи приведены в соответствие с элементами группы, подчиняются ее таблице умножения (в данном случае имеется в виду, разумеется, матричное умножение) *).

Га~ множество квадратных матриц, которые подчиняются таблице умножения конечной группы G; это представление группы G называют представлением Га или а. Га (/?) — матрица множества Га, «представляющая» элемент R данной группы. Га (Я)*/ —Ц"й элемент матрицы Ta(R).

па — порядок матриц, образующих множество Га. g — порядок группы.

Примером представления и принятых выше обозначений служат матрицы (3.1), которые, как легко видеть, подчиняются таблице умножения группы D3:

*) В дальнейшем предполагается, что читатель знаком с необходимыми разделами матричной алгебры, кратко изложенными в Приложении (стр. 145— 150).

Обозначения:

Так, например,

Г3 (Z)T3(M) = T3 (JM) = T3 (L).

(3.2)

ГЛ. 3]

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

21

Матрицы (3.1) непосредственно связаны с геометрией равностороннего треугольника. Именно, зафиксируем два вектора ах и а2 (рис. 3.1), а затем повернем координатную систему на 120° по часовой стрелке (так, чтобы треугольник остался неизменным в новой координатной системе). Тогда компоненты векторов й\ и U2 будут изменяться согласно следующим формулам:

а'Л /-1 -Г

(3.3)

а

а'

1

*2/ \**2/ \ /4^2/

В справедливости сказанного легко убедиться, замечая, что в новой координатной системе векторы а\ и а2 расположены так же, как они были бы у

расположены в старой системе, если бы их повернули на 120° против часовой стрелки. Такое вращение можно обозначить через /; двухрядная (2 X 2) матрица в уравнении (3.3) есть Г3(/).

Отметим некоторые особенно важные представления.

Тривиальным (или тождественным) представлением называют такое, при котором каждому элементу группы сопоставляется единица, рассматриваемая как единичная одномерная

(1X1) матрица. В точном представлении существует однозначное соответствие между матрицами и элементами группы; другими словами, такое представление изоморфно абстрактной группе. Представление Гз группы D3 — точное, тривиальное — нет. Представления называются эквивалентными, если эквивалентны соответствующие множества матриц (см. Приложение). Как мы сейчас покажем, можно построить сколько угодно новых представлений. Для этого следует взять любую несингулярную матрицу X и преобразовать каждый элемент представления Ta(R) в элемент X"xra(R)X. Соответствующее представление мы обозначим через Га(R)'. Новое представление эквивалентно старому и, разумеется, подчиняется той же таблице умножения:

rj^ra(s) = ra(r)=>

Рис. 3.1. Расположение векторов, преобразования которых представляются матрицами Г3 (R).

X-T0 (R) XX-T0 (S) X = Л"" T0 (T) X

Wr0 (sy = ra(Ty.

(3.4)

22

СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

[Ч. її

Приводимые представления даются приводимыми множествами матриц, т. е. такими, в которых все матрицы можно привести к следующему виду *):

Г(*)« Ji^L« — . (3.5)

\0 |Г2(Л)/

Здесь Ti(R) и Г2(R) —квадратные матрицы, 0 —нулевые матрицы. Если порядки матриц Tj и Г2 различны, то нулевые матрицы не квадратные. Представления, которые не могут быть приведены к такому виду, называются неприводимыми.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed