Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. 2]
ПРИМЕРЫ СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
17
а)
г)-----
ь)--------¦—
свое зеркальное изображение, совпадающее с тем же моментальным снимком, сделанным через полпериода.
Поперечное колебание показано на рис. 2.1, г. Оно не изменяется при отражении. Движение происходит только в плоскости xz. Однако инвариантность равновесной конфигурации относительно вращения вокруг оси г делает выбор направления оси X произвольным. Следовательно, так же будут выглядеть и колебания, происходящие в любой другой плоскости, например yz\ хотя это колебание не зависит от первого, оно должно иметь ту же частоту (вырождение). Колебание, изображенное на рис. 2.1,г, называют нечетным, хотя при отражении в б) плоскостях xz и ху знаки атомных смещений не изменяются: знак изменяется, однако, при отражении в плоскости yz. Как отмечалось раньше, направления осей X и у эквивалентны. Поэтому существует произвол в определении того, будет ли данное колебание четным или нечетным, если в качестве определяющей операции выбрано отражение. По этой причине в качестве определяющей операции выбирается полное отражение, т. е. преобразование (х, у, z)—> (—х,—у,—z). Как мы видим, классификация колебаний на четные и нечетные на рис. 2.1,6 и б, согласуется с этим условием.
Из этого простого примера ясно видно, как используются свойства симметрии. Во-первых, они используются при классификации колебаний на продольные и поперечные, четные и нечетные. Во-вторых, симметрией задачи пользовались при исследовании вырождения колебаний. Из симметрии задачи следует, что в общем случае есть только три различные собственные частоты, а не четыре, как можно было бы предполагать. Конечно, свойства симметрии сами по себе не избавляют нас от необходимости решать уравнения движения, если надо найти частоты в явном виде.
В классической системе пршшшздще^ малые колебания
t
Рис. 2.1. а) Равновесная конфигурация линейной трехатомной молекулы, б) Четное продольное колебание, в) Нечетное продольное колебание, г) Одно из дважды вырожденных поперечных колебаний.
можно, вообще говоря, пре^
ейных комбина-
2 Р. Нокс, А. Голд
18
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
[Ч. Il
ций нормальных мод. В квантовой механике на движение связанной системы наложено больше ограничений. Невозмущенная система может находиться только в стационарном состоянии с соответствующим ему собственным значением энергии. Именно здесь и оказываются особенно полезными соображения симметрии.
Рассмотрим р-состояния валентного электрона в атоме щелочного металла. Электрон движется в сферически симметричном поле ядра и внутренних электронов. Решения уравнения Шредингера можно выбрать в виде следующих линейных комбинаций сферических гармоник с / = 1:
ЬВУ/И. Фр*в*/(г). (2.1)
Здесь функция f(r) зависит только от расстояния г до ядра*).
Форма выбранного решения сразу показывает, что три вырожденных р-состояния преобразуются при вращении и отражении как компоненты обычного вектора. Поскольку наш выбор осей был совершенно произвольным, очевидно, что физические свойства состояний не могут зависеть от обозначения их, и три собственные функции (2.1) должны принадлежать одному и тому же собственному значению энергии. Если поместить атом в однородное электрическое поле, направленное, скажем, по оси 2, то следует ожидать расщепления на невырожденный и дважды вырожденный уровни. С другой стороны, если поместить атом в поле кубической симметрии, то вообще не следует ожидать расщепления, так как три главные оси куба неразличимы.
Желая исследовать оптические переходы между одним из этих р-состояний и некоторым другим уровнем, мы должны вычислить дипольный матричный элемент [2]
Af = J і|)іГф2 dr.
Если обе функции, и «ф2, описывают р-состояния, то интеграл будет равен нулю, так как подинтегральное выражение нечетно
*) Соответствующие линейные комбинации обычных сферических гармоник (с точностью до нормировки) имеют вид
X--(Y1J-YT1), У~1(У\ + УТ1)> *~Yl
Здесь и в дальнейшем принят тот же выбор фаз, что и в книге Кондона и Шортли [4]:
М+|АП__
Y1" - (- 1) 2 Л/ *k±L (^4 Af 1)1 Ы Af I (C0S Q) еШФ
rL~l !' у 4л (L+ |Af|)l ^coso>e •
где ' — соответствующие функции Лежандра.
ГЛ. 3]
ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
19
относительно по крайней мере одной из декартовых координат. Однако если одна из волновых функций будет описывать сферически симметричное 5-состояние, то матричный элемент, вообще говоря, в нуль не обратится и оптические переходы будут возможны.
Итак, мы кратко указали на возможные области применения соображений симметрии в квантовой механике. Они помогают классифицировать состояния и описывать трансформационные свойства волновых функций. Далее, они позволяют решать вопрос о вырождении состояний и об их расщеплении под влиянием возмущения. Более того, учет свойств симметрии дает возможность указать правила отбора для переходов между различными уровнями, а в некоторых случаях и упростить вычисление матричных элементов.
