Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к простому примеру, рассмотренному в гл. 2, заметим, что гамильтониан электрона в центральном поле
ff--1W+ У (г) (4.22)
явно инвариантен относительно всех вращений и всех отражений относительно начала координат. Очевидно, трехкратно вырожденные волновые функции /7-типа, xf(г), yf(r) и zf(r), при этих преобразованиях линейно преобразуются друг через друга. Следовательно, они образуют базис трехмерного (задаваемого квадратными матрицами третьего порядка) представления группы всех вращений и всех отражений относительно точки.
Следует отметить, что конкретный выбор линейно независимых функций мало влияет на исследование свойств преобразований. Пусть мы выбрали с самого начала другое множество п функций, представляющих собой линейно независимые комбинации функций ф:
*/-?s,/*. (4.23)
Тогда
P (R) Ь = 2 SnP (R) ih = 2 Su 2 Г (R)ki =
і і k
= S (#)«(?-')«&= 2 SUT(R)US11*,. (4.24)
і. k, І і, к, І
Последнее выражение можно переписать в виде
Р(ЮФ, = 2Г'(Я)і,<І>і> (4-25)
совпадающем по форме с (4.17). Здесь введено обозначение
Г = S-1TS9 (4.26)
где S — матрица коэффициентов S^. Видно, что ф'ункции ф порождают представление Г' группы уравнения Шредингера, связанное с представлением Г просто преобразованием подобия. Два таких представления называют эквивалентными; практически при решении квантовомеханических задач не стоит даже утруждать себя, проводя различие между ними. Возвращаясь вновь к примеру гамильтониана в центральном поле, можем
ГЛ. 4| ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
39
сказать, что волновые функции 2~l/2(x ± iy)f(r), zf{r) порождают представление, эквивалентное представлению, связанному с волновыми функциями xf(л), уі(г), zf(r). Работать можно с любым из них, выбирая более удобное.
4.2. Вычисление матричных элементов
Пусть мы каким-то образом выбрали ортонормированную систему функций, удовлетворяющих уравнению (4.17) (в случае, когда представление Г унитарно и неприводимо). Обозначим рассматриваемое неприводимое представление через Га, а волновые функции — через i|)nctt\ Здесь п — некоторый порядковый индекс (главное квантовое число)*), а / — номер партнера:
Р(ЯИпаі = %Га(Юіі^паі. (4.27)
Для дальнейшего не обязательно, чтобы функции \|>„аг- были собственными функциями гамильтониана Я; надо лишь, чтобы индекс а нумеровал неприводимые представления группы Я. Первая основная теорема связана с матричным элементом
(HW ^W*')- Запишем его в следующем виде:
(4W ^nW,) = (P(RHnai, PiR)H^1,)= (4.28а)
= (P (/?)*„„„ HP(RHn,^,)= (4.286)
-2 2^(1^ WJi(W Я^а7). (4.28b)
Указанные здесь три последовательные преобразования связаны а) с унитарностью оператора P(R)y б) с коммутативностью Я и Я и в) с соотношением (4.27) между партнерами. Видно, что, в отличие от (4.28а) и (4.286), матричные элементы, фигурирующие в правой части (4.28в), совершенно не зависят от R. Это позволяет воспользоваться соотношением ортогональности (3.10), просуммировав сначала обе части равенства (4.28в) по R:
R JJi-R J
Отсюда
я{*ш* " w) - 2 2 Й *«Л/A-](w нW) <4-30>
г /
*) Этот индекс показывает, что представление Га может иметь (и обычно имеет) больше чем один базис. Индекс nai совершенно аналогичен квантовым числам піти которыми обычно характеризуется сферически симметричный атом; при этом индекс / нумерует неприводимые представления группы вращений, а индекс nit дает число партнеров в базисе.
40 СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ (Ч. П
Теорема о факторизации матриц гамильтониана. Пусть функции г|)па/ и фя,а,?/ суть партнеры в базисах неприводимых представлений Га и Га' группы гамильтониана Н. Тогда
1) (+пор Н^п'а'г)= 0» если представления Га и IV неэквивалентны;
2) (Ф/ю/> H^n'al') = ^> еСЛИ ИНДеКСЫ I И Г ОТНОСЯТСЯ К раЗ*
личным партнерам;
3) (Фшхр H^n'at) не зависит от индекса /.
Эта теорема о факторизации полезна, конечно, главным образом при рассмотрении стационарных состояний системы. Переходы между последними вызываются, как правило, возмущениями другой симметрии, нежели симметрия основного гамильтониана (например, дипольные переходы в атоме вызываются электрическим полем электромагнитной волны). Поэтому представляет большой интерес также следующий матричный элемент:
(1W %4w)- (4.32)
Здесь Af?j — оператор возмущения. Будем считать, что он преобразуется *) ПО /-My ряду НепрИВОДИМОГО Представления Г|3
группы, связанной с состояниями \|>паг. Ниже мы увидим, что любое возмущение M можно однозначно представить в виде линейной комбинации слагаемых М$у Укажем сначала результат вычисления матричного элемента (4.32), а затем кратко остановимся на промежуточных этапах расчета.
*) Легко показать, что операторы с указанными трансформационными свойствами определяются равенством
И
(Iw и***») - ««А.- [i S OW "*»'«/)] • <4-31>
Этот замечательный результат лучше всего сформулировать словесно:
(ср. с уравнением (4.27)).
V
ГЛ. 4]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
