Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 15

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 144 >> Следующая


(OPF9 0?FO = 6a?6pr (F9 OfF'). (4.46)

Заметим, наконец, что существует более сжатая форма записи проекционного оператора. Пользуясь ею, нельзя сразу определить, по какому ряду представления преобразуется данная спроектированная функция. Однако эта сжатая форма позволяет пользоваться таблицами характеров, которые более доступны, чем полные представления*). Введем величины Oa= - SpOS' = Sp 05'. Тогда

OaF - f S J Га (RYpp P (R) F = f ]g Xa (RT P (R) F. (4.47)

Rp R

Этот оператор особенно полезен, когда надо исключить какие-либо возможности. Так, например, если правая часть (4.47) равна нулю, то функция F не имеет элементов, преобразующихся по представлению Га. Характеры проекционных операторов (в сочетании с некоторой долей интуиции) составляют едва ли не самое эффективное средство построения базиса при решении конкретных задач.

Литература

1. В. X ей не, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963, § 17.

2. J. S. Lomont, Applications of Finite Groups, New York, 1959, p. 312.

3 G. F. Koster, J. 0. Dimmock, R. G. Wheeler, H. Statz, Properties of the Thirty-two Point Groups, Cambridge, Mass., 1963.

*) В книге [2] можно найти сведения, необходимые для построения не приводимых представлений большинства точечных групп, интересных в теории твердого тела. Более полные таблицы даны в книге [3]. (См. также Л. Д. Л а н-дау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, ч. 1, Нерелятивистская теория, изд. 2-е, Физматгиз, 1963. — Прим. ред.).

ГЛ. 51

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ TFOPHH НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП

45

ГЛАВА 5

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП

До сих пор мы ограничивались рассмотрением групп, содержащих конечное число элементов. В квантовой механике, однако, весьма важны и группы бесконечного порядка. Например, непрерывные группы двумерных и трехмерных вращений играют очень существенную роль при описании атомов и двухатомных молекул, как свободных, так и находящихся в кристаллическом поле. Мы не будем здесь излагать математический аппарат теории непрерывных групп и их представлений. Ограничимся только упоминанием некоторых полезных результатов, сопровождая их, в лучшем случае, краткими пояснениями полуинтуитивного характера. При этом будет существенно предполагаться предварительное знакомство читателя с элементарной квантовой теорией момента количества движения.

Группа двумерных вращений описывает всевозможные повороты системы на угол ф вокруг фиксированной оси. Очевидно, эта группа абелева. Она имеет только одномерные неприводимые представления, как и соответствующие конечные группы. Пусть х(ф) есть характер вращения на угол ф. Тогда должны выполняться равенства

Х(фі)х(ф2) = х(фі+ф2) (5.1)

Х(2л) = х(0)-1. (5.2) Поэтому представления имеют вид

Х(ф) = ***ф, (5.3)

где

m = 0, ±1, ±2, ... (5.4)

Существует бесконечное счетное множество таких одномерных представлений. Одна из теорем, справедливых для конечных групп, в данном случае явно не выполняется: имеется континуум элементов (классов) и только счетное множество неприводимых представлений. К этому примеру мы будем обращаться и при исследовании представлений группы трехмерных вращений.

Хорошо известно, что бесконечно малые вращения складываются векторно [1], хотя конечные вращения ведут себя совсем иначе. Это отражается в том факте, что оператор бесконечно малого вращения вокруг оси g, определяемой направляющими косинусами /, т, я, можно записать в следующем виде:

k = Ux + ml у + nlz.

(5.5)

4? СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ [Ч. H

*) Следуя обозначениям гл. 3, мы должны были бы написать

и придерживаться таких обозначений во всей этой главе. При этом, однако, появилось бы слишком много символов.

Здесь IXi Iy, I1 — операторы бесконечно малых вращений вокруг трех координатных осей. Можно показать [2], что конечный поворот на угол а вокруг оси § записывается в виде *)

#„| = е'а/!( (5.6)

где экспоненциальный оператор следует понимать в смысле обычного разложения:

е *=1+т/* + —J1—+ ... (5.7)

Операторы бесконечно малого вращения подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

IxIy-IyIx = Uz. (5.8)

Остальные соотношения можно получить из (5.8) циклической перестановкой индексов. (Напомним об аналогичных соотношениях для компонент момента количества движения.) Если ввести «операторы сдвига» /+, /_, определяемые равенствами

I+ = Ix + U„ (5.9)

/. ~Ix-U9, (5.10) то соотношения (5.8) можно переписать в виде

/,/+-/+/ж-/+. (5.11)

/,/_-/_/,= -/„ (5.12)

/+/--/_/+ = 2/,. (5.13)

Неприводимые представления группы трехмерных вращений мы получим, рассматривая произвольное конечное векторное пространство (множество функций), инвариантное относительно элементов этой группы, и выбирая в нем неприводимые базисные системы (множества «партнеров»). Очевидно, достаточно ограничиться явным рассмотрением только операторов 1Ху 1У и I2 (или 1± и Iz)t так как любое вращение можно записать с их помощью. Выберем партнеров неприводимых представлений группы двумерных вращений вокруг оси г. Если функция tym есть базис т-го представления, то
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed