Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, задача о приведении такого рода возникает, когда мы имеем дело с прямым произведением двух неприводимых представлений. Последнее понятие определяется как представление, возникающее, если составить прямое произведение матриц, представляющих каждый элемент (мы пользуемся в дальнейшем теми же обозначениями, что и в Приложении). Рассмотрим произведение Га X T?; характеры матриц Га и T? равны, соответственно, Xa(R) и X&(R)- Поскольку след прямого
ГЛ. 3]
*) Это доказательство можно найти в книгах [1] или [2].
произведения матриц равен произведению следов, х(Га X T?) =
~ XaXUi мы имеем /л ллч
raxr? = 2?a?YrY, (3.22)
где Y
§т = J S & (*) X3 (R) Xy («Г- (3.23)
R
Критерий неприводимости. Представление Га неприводимо тогда и только тогда, когда
21 Xa (R) I2 = (3.24)
я
Перечисление неприводимых представлений, а) Регулярное представление Гд (раздел 3.1) приводимо и содержит Га (неприводимое представление) точно па раз. б) Отсюда сразу следует, что г
lining. (3.25)
a=l
Число неприводимых представлений группы равно числу ее классов.
Соотношения ортогональности (3.18) легко доказать следующим образом. Положим в формуле (3.10) і = /?, j = q и просуммируем по всем значениям р и q. Получим
S Xa (R) X3 (RY = Oa?"a = g6a?. (3,26)
R а
Множитель па возникает здесь при суммировании брр по р. Видно, что левая часть равенства (3.26) — та же, что и в (3.18). Можно показать, что более общее соотношение ортогональности (3.9) также приводит к (3.18); поэтому последнее справедливо также и для неунитарных представлений. Доказательство соотношения (3.19) довольно длинно и потому здесь не приводится*).
Что касается теоремы об эквивалентности, то ранее уже было показано, что Xa(R) = %&(R), если представления Га и Г3 эквивалентны. Обратное можно доказать, полагая в формуле (3.26) Xa = X?- Если представления Га и T? неэквивалентны, то
2 I Xa(#) I2 = 0. Однако по крайней мере один характер, %а(Е)г^ R
= па, должен быть отличен от нуля. Таким образом, мы приходим к противоречию, и следовательно представления Га и T? не могут быть неэквивалентными.
Теоремы о приведении составляют более точную формулировку наших прежних соображений о «содержании» произвольного
ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 29
зо
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
14. II
приводимого представления. Так, равенство (3.20) означает, что приводимое представление можно преобразовать следующим образом:
(«Неопознанная»^ (неприведенная) J форма /
г,
г,
г,
(3.20')
Представление Га содержится ра раз
Из второй формы записи явствует, что характер этого представления равен 2 PaXa- Это останется в силе и в случае, если снова
a
перейти к неопознанной форме. Таким образом, характер можно вычислить, даже если задана только «неопознанная» форма. При этом
х(*)-2ал,(*). (3.27)
a
Умножая обе части равенства (3.27) на Хр(#)*» суммируя по элементам R и пользуясь равенством (3.26), получаем исключительно важное соотношение (3.21).
Равенства (3.22) и (3.23) чрезвычайно важны для приложений и их следует понять до конца. Прямое матричное произведение Ax В определяется так, что элемент (А X равен AikBji. Здесь (Ij) и (kl)—соответственно индексы строки и столбца. Чтобы все это лучше понять, рассмотрим пример. Пусть
г0 Г
1 0,
Тогда
11
12 21
22
11
12 21
22
11
0
0 а
Ъ
11
0
а 0
Ь
12
0
0 с
d
12
а
0 л
0
Л XB =
_
и ? X Л =
21
а
Ъ 0
LpJ
21
0
с 0
d
22
с
d 0
0
22
с
0 d
0
ГЛ. 3J ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 31
(можно, конечно, в рассмотренном примере обозначить строки и столбцы прямого произведения последовательными цифрами через 1, 2, 3, 4, но это приведет лишь к усложнению записи). Элемент, обведенный рамочкой, имеет индексы «(21), (22)» и вычисляется из соотношений
(А X ?)(2i)(22) = A22B12=O Xb = O9 (BX А){2т2) = B22A12 =
= d X 1 = d.
Прямым произведением можно пользоваться, чтобы по заданным представлениям группы строить новые. Покажем, прежде всего, что прямое произведение двух представлений (взятое элемент за элементом) также есть представление. Пусть
T1x(R)=Ta(R) X T?(R).
Тогда, вычисляя, в соответствии с определениями, обычные и прямые произведения, получим
- S [Г„ (R) X Г (R)]w) {яи) X [Га (5) X Г (S)](mn) (*о -
(тп) 1
= S 2 Г„ (R)tm T (R)fn X Га (SU Гр (S)n, -
т п
= [Га (*)ra(S)b[r? (R)T^(S)U =
— Fa (RS) X Гр (/?5)](//) (ki) e (RS)(If) (ki).
Важное свойство прямого произведения состоит в том, что след AxB равен Sp A Sp ?. Действительно,'
Sp (AX В) = 2 (A X В)щ) щ) = 2 2 AnBn =
= (2 An) (2 Bn) = Sp A Sp В. (3.28)
Поэтому характер прямого произведения двух представлений есть произведение характеров последних. Это хорошо видно на примере группы D3. Из теоремы об эквивалентности следует, что указанное в четвертом ряду таблицы (см. ниже) прямое произведение T2 на Гз по крайней мере эквивалентно (если не идентично) представлению Г3. Далее, представление Г3 X T3 имеет размерность 4 и, конечно, приводимо. Пользуясь формулой (3.21) или просто рассматривая приведенную таблицу, можем убедиться, что произведение Г3 X Г3 содержит по одному разу представления Гь T2 и Г3. Таким образом, можем написать
