Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
173
Измерение % создает (как мы это знаем из III. 3) одно из состояний cpj,
ср2, <])j, ф2, ... Если таким состоянием окажется сря (что мы заметим
потому, что результатом измерения будет одно из Хя), то нам будут
известны и значения величин 9i и @. Действительно, Ш и имеют в состоянии
сря по предположению точно определенные значения, и мы можем с
достоверностью предсказать, что в измерении Ш, @, которое производится
немедленно вслед за этим, будут найдены как раз эти значения. С другой
стороны, если в результате измерения образуется фя, то ничего подобного
не известно (фп не принадлежит 9JJ; поэтому 9i и не определены точно в
со-стояниии фл). Но вероятность того, что система будет обнаружена в
состоянии фп, равна, как мы знаем, Р[^п\ ?• <р> а вероятность найти
систему в любом из состояний фл (п- 1, 2, ...) -
2^]<р = ^" -и?* <РвРя -аг'рЦ2^ 11?-р"?||2.
л *• ОО 11 ОО 11
Эта вероятность равна 0, т. е. Ш и <2> измеримы одновременно с
достоверностью, если <р = Рту, т. е. если ср принадлежит к ш).
Так как нас интересуют сейчас одновременно неизмеримые величины, примем,
что осуществляется крайний случай 2)( = (0), т. е. предположим, что 91 и
@ не измеримы одновременно ни в каком состоянии или, иными словами, что
не существует общих собственных функций для R я S.
Если операторы R, S обладают разложениями единицы Е(к), F (к) и система
находится в состоянии ср, то, как мы знаем из III. 1, математические
ожидания операторов R я S будут равны
р = (Дср, ср), а = (Sep, ср),
а их дисперсии, т. е. математические ожидания величин (9i - р)2 и (<$ -
о)2 (ср. обсуждение абсолютно точного измерения в III. 3), будут равны
е2 = ((Д - р- I)2ср, ср)=||(Д - р. 1)ср||2= ||Лер - рср||2.
Т]2=:((5 - а • I)2Ср, ср)= ||(5 -а • 1)ср||2= ||5ср - асрЦ2.
После известного преобразования эти выражения принимают вид130) S2 = ||
Яср ||2 - (Дер, ср)2, Т]2 = || 5ср ||2 - (5ср, ср)2
129) Дальнейшее подробное обсуждение "одновременной измеримости в
состоянии ср из !Ш" величин (R и @, не измеримых абсолютно точно
(непрерывные спектры) и т. д., предоставляется читателю. Его можно
провести точно таким же способом, какой был использован в рассмотрениях
III. 3.
13°) Вычисление с операторами делается следующим образом:
е* = ((Я - р • I)2 <р, ср) = (/?2ср. ср) - 2р- (tfcp, ср) -f р2 =
= ||Я<р||2 -2.(tf<p, <e)2 + (R<e, vy = llR,ir-(RV, ср)2 и соответственно
для д2.
174
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
(так как ||ср[| = 1, то уже неравенство Шварца, т. е. теорема 1. из И. 1,
показывает, что левые части 0). Возникает вопрос: поскольку е и т) не
могут одновременно равняться нулю, хотя порознь е и т) могут быть сделаны
сколь угодно малыми (ведь Ши(r) по отдельности измеримы с произвольной,
возможно даже с абсолютной точностью), то должны существовать соотношения
между е и т), которые препятствуют их одновременному уменьшению - какой
вид они имеют?
Существование таких соотношений было открыто Heisenberg' ом131), и они
чрезвычайно важны для познания неопределенностей, вносимых квантовой
механикой в описание природы. Поэтому их называют соотношениями
неопределенности. Мы выведем сначала математически самое важное
соотношение этого типа, а затем вернемся к его принципиальному значению и
его связи с опытом.
В матричной теории важную роль играли операторы Р и Q с перестановочными
соотношениями
PQ-QP-ш1'
они сопоставлялись, например, координате и сопряженному ей импульсу (ср.
I. 2) или, более общо, любым двум величинам, которые были канонически
сопряженными друг другу в классической механике (см., например, работы,
упомянутые в прим. 2) на стр. 10). Рассмотрим несколько более общо любые
два эрмитова оператора Р и Q, для которых
PQ - QP = а ¦ 1.
(Так как (PQ - QP)* = QP - PQ, то (а.1)* = а-1 = - а-\, а = --а, т. е. а
должно быть чисто мнимым. Это операторное равенство не распространяется,
конечно, на области определения обеих его сторон: PQ-QP может иметь смысл
не везде.) Для любого состояния ср тогда будет
2 im (Ар, Qcp) = / [(Ар, Qcp) - (Qcp, Ар)] == - i [(QAp, ср) - (PQcp,
ср)] = = (/{/>Q_Q/>}cp, cp) = Za. ||cp||2.
Пусть а Ф 0, тогда мы имеем (теорема 1. из II. 1)
11<р112 = -т1т(Я*- о?) I Si 11^ II-II Gp II.
m) Z. Physik 43 (1927). Эти соображения были обобщены Bohr'ом, Naturwiss.
16 (1928). Аналитическое рассмотрение, которое мы собираемся сейчас
изложить, было предложено К е n n а г d' ом, Z. Physik, Bd. 44 (1926),
Robertson придал ему современный вид.
41 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 175
поэтому в случае ||ср|| = 1 это дает
||Рср|| • HQcpH^i^.
Так как операторы Р - р-1, Q- с-1 удовлетворяют тем же перестановочным
соотношениям, то имеем аналогично
||Ар -рср|| • HQtp - ocpjl^M,
и если мы введем математические ожидания и дисперсии р = (Рср, ср), г2 =
ЦРср -P'fj|2,
о = (Qcp, ср), 7)2 = || Qcp - сер || 2,
то получится
Для того чтобы имел место знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы
в неравенствах использованных при выводе, всегда использовался бы знак =
