Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
покоя тела Т, - это и без того неизбежное предположение при
нерелятивистских вычислениях.
137) Пусть, например, Е(х) является конечным монохроматическим цугом волн
частоты ч0, протяженным от 0 до х:
lasm2Tt ч0х для 0^. л:^т,
F (х) - {
( 0 вне этого интервала.
силу непрерывности, на концах интервала sin2rv0x должен равняться 0, т.
е. должно быть vo = x|~'' л = 1, 2, 3, ...j Тогда на основе известных
41
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
183
ленность положения возникает при таком способе измерения из-за того, что
тело Т испытывает отдачу (в направлении наблюдения) за время
индивидуального акта испускания кванта света, т. е. его скорость
подвергается изменению порядка . Поскольку на процесс испускания
требуется промежуток времени т, то момент этого
формул обращения интеграла Фурье (см. прим. 87) на стр. 102) a2 =62-fc^,
где
-f-СО т
} = 2 J F(x){(tm)}2(tm)-dx = 2afsin2(tm)0x.{c(tm)}2rs,x.dx =
- оо 0
= ±aI({Scos}%^ + ^)x~{cos}%^-^)x)dx =
о
{sins}*<v+vo)jf {?}"<'-**
= - а
¦к (v-fv0)
it (v - v0)
Г (-1)" COS ItVT 1 (---1)" COS 7CVT 1 1 _
_ al (tm) (v + V0) " it(v - v") J -
2ач0 (1-(-1)" cos ttvx)
- ^73^) ¦
'(-1)"sinrcvx (-1)лsin7cvx 1 2av0 (-l)wslnitvx
- a
It (V -f V0) it (v - V0)
it (v2 - v2)
поэтому
2av0 У2 - 2 (-1)" cos itvx a~> T~2 2\
it(v - V0)
4av0 (sin) 1
> -7Г- 7EVX
I COS J 2
tt(v2-v2)
- 4av0 [ sin n (v Vp) x 1
1t(v2-vg)
Как видим, наиболее сильно представлены частоты из окрестности ч = v0,
так что наибольшая часть энергии цуга волн попадает на тот интервал
частот, в котором it (v - v0) х имеет умеренные значения. Поэтому
дисперсия
v - v0 (или, что то же самое, дисперсия v) по порядку величины равна
/ а1 (V -v")adv
Точное вычисление выражения
/
дает тот же результат.
ald't
184
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ТЛ. III
изменения скорости не может быть локализован точнее, чем в пределах т.
Отсюда следует неопределенность в положении е--^-т.
так что мы имеем снова ?tj~/z.
Если тело Т не самосветящееся, как предполагалось выше, а рассеивает
чужой свет (т. е. оно освещено), то вычисление выглядит совершенно
аналогично.
Рассмотрим, как в III. 1, физическую систему S с k степенями свободы,
конфигурационное пространство которой описывается k координатами qv . .
., qk (ср. также I. 2). Все физические величины 91, которые могут быть
построены для системы S, являются, в рамках классической механики,
функциями от qv .... qk и от сопряженных
импульсов рх рк. 91 = 91(9! qk, pv ..., рк) (например,
энергия является гамильтоновой функцией Н(qv . .., qk, pv .... рк)). С
другой стороны, в квантовой механике, как уже было указано в III. 1,
величины 91 взаимно однозначно сопоставлены гипермакси-мальным эрмитовым
операторам R\ в частности, qv .... qk соответствуют операторам Q{=qi ¦ •
-Qk=qk ¦ • •, а рх рк - операторам
Pk=^aWk"' В общем случае' как был0
пояснено в I. 2 на примере гамильтоновой функции, нельзя из-за
неперестановочности Qt и Pt определить R как /?==9l(Q1, ..., Qk, Pv .. .,
Рк). Не будучи в состоянии высказать что-либо вполне определенное о
соотношении между величиной 91(9!, .. .. qk, рх рк)
и ее оператором R, мы тем не менее установили в III. 1 и III. 3 следующие
частные правила.
L. Если операторы R, S соответствуют одновременно наблюдаемым величинам
91, то оператор aR-\-bS (а, b - вещественные числа) соответствует
величине а91-(-6(r).
F. Если оператор R соответствует величине 91, то величине F (Ш) (F (\) -
произвольная вещественная функция) соответствует оператор F (R).
L., F. допускают еще некоторое обобщение. Оно вынуждается свойством F. и
гласит:
F*. Если операторы R, S, ... соответствуют одновременно измеримым
величинам 91, <2>, ... (следовательно, коммутируют, пусть их число
конечно), то величине (91, ...) соответ-
ствует оператор F (R, S, ...)•
Поэтому
тс Д'I ч
5. Проекционные операторы как утверждения
8"
ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ КАК УТВЕРЖДЕНИЯ
185
При этом мы примем, что F (к, р., . ..) - это вещественный полином по X,
р., .... так чтобы смысл выражения F(R, S, ...) не вызывал вопросов (R,
S, .. . коммутируют), хотя F*. можно было бы обосновать и для
произвольной функции F (к, р, ...) (относительно определения общего
выражения F (R, S, ...) см. ссылку в прим. 94) на стр. 110). Тогда, так
как любой полином можно получить повторением трех операций аХ, X -j- р,
Хр, достаточно рассмотреть
лишь эти последние, а поскольку Хр = -1- ((X -р)2 - (X - р)2), т. е.
равно
• (Х+р)2+(-|) • (Х-к-1) • р)2,
то указанные три операции можно заменить также операциями ак, X -|- р,
X2. Но две первые принадлежат к типу L., а последняя - к F..
Следовательно, F*. доказано.
С другой стороны, L. распространяется в квантовой механике даже на те
случаи, когда 91, (r) не измеримы одновременно. Мы обсудим этот вопрос
позже (в IV. 1), а сейчас ограничимся замечанием, что даже смысл
выражения аЯ1-\-Ь<2>, если 9i, одновременно не измеримы, вовсе не
представляется ясным.
Наряду с физическими величинами 91 существует еще нечто, являющееся
