Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Все решения / уравнения Rf - X/ растягивают замкнутое линейное
многообразие Ш(х, все 9ЙХ вместе - в свою очередь многообразие Ш( и для
несуществования чисто дискретного спектра характерно Ш( Ф 95^,,
т. е. 9? = 9tco- 2)( Ф (0) (ср. по этому поводу,
а также и по поводу нижеследующего, II. 8). 9Jfx Ф (0) в крайнем случае
для некоторой последовательности X, и такие X образуют дискретный спектр
оператора R. Когда мы измеряем величину 91 в состоянии ф, то вероятность
того, что в результате измерения будет получено значение X*, равна
W(X*) = pfflix^f = (Р^. ф).
Разумнее всего доказать это с помощью применявшейся выше аргументации,
основанной на Е2. (или Ей) и на функции
j 1 для X - X*.
F 00 | о для X Ф X*.
Вероятность того, что значением величины 91 окажется некоторое X* из
дискретного спектра ^ оператора R, будет соответственно равна
w = S {рщ& Ф) = {ртЬ Ф) = I P^i I2-
X* В 'В
в чем можно убедиться непосредственно с помощью функции
( 1 для X* из 35,
\ 0 в остальных случаях.
Если, однако, ЧЛ измеряется точно, то после этого должно
осуществиться состояние ср, удовлетворяющее /?ср = Х*ср,
и поэтому ре-
зультат измерения X* должен принадлежать ф, - вероятность удачи точного
измерения равна поэтому (в лучшем случае) |Р^ф|2. Но это
число не всегда равно 1 и в случае ф из 91 даже равно 0, значит, точное
измерение возможно не всегда.
3]
ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ 165
Мы видели, что величина Щ всегда (т. е. в любом состоянии ф) может быть
точно измерена тогда и только тогда, когда эта величина обладает
дискретным спектром. Если она не обладает дискретным спектром, то она
может быть измерена лишь с ограниченной точностью. Именно, можно
разделить числовую прямую -оо <Х< + СО
на интервалы .... /(_2), /(-1), /(0), /(1), /(2), ... (пусть точками
деления будут ..., Х("2). Х(_1), Х(0), Х(1), Х(2), ...; /(л) = {Х(л),
Х(л+1)}; максимальная длина интервала е = Мах(Х(л+1)- Х(л)), расстояние
между точками деления является тогда мерой точности) и указать, в каком
интервале лежит величина Щ. Математическое рассмотрение этого процесса
можно продолжить и дальше. Именно, пусть F (к) обозначает функцию (X;-
некоторое промежуточное значение из интервала /(л), выбираемое для
каждого п = 0, ±1, ±2, ... произвольным, но в интересах дальнейшего,
фиксированным образом):
F (X) = Х^,, если X лежит в /(л)-Тогда приближенное измерение величины Щ
будет эквивалентно точному измерению величины /^(Ш). Значит,
Л/1 + 1)
к-
F(R) = f F(k)dE(k) = J] f F(X)dF(X) =
л=-оэ х(л)
х(Л + 1)
= 2 X^ f dE(k) = ^ k'nE(lM).
Л*-СО ^(Л) П--CO
Очевидно, что для всех / из принадлежащего Е(/(л)) замкнутого линейного
многообразия имеет место уравнение F (R)f - Хл/, т. е. для оператора F
(R) многообразие 2)?, содержит это линейное
многообразие. Следовательно, Р,щ , >Е(Iм) и поэтому
^Л
+ СО +СО + со
ршш 2 2 Е(П= 2 (?(х(л+1>М(^)))=1-о = 1-
Л = - ОО Xп п- -СО п- -со
Отсюда следует, что
+ОЭ
S Рт, =^1 = 1. Рт , =Е(11п))<
П- -со х X
л п
Ч t
т. е. F (R) имеет чисто дискретный спектр, который состоит из кп.
166 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. Ш
Поэтому F (91) действительно точно измерима, и вероятность того, что ее
значение равно Х^, т. е. что значение 91 лежит в /(,!), равна
Рш , ф 2 = 1?(/("))ф||2,
ка
в согласии с утверждением W, для 91.
Этот результат может быть интерпретирован и физически, и при этом
выясняется хорошее согласие теории с обычной физической наглядной точкой
зрения.
В свойственном классической механике методе рассмотрения (без каких бы то
ни было квантовых условий) хотя и приписывают каждой величине 91 в любом
состоянии совершенно определенное значение, но в то же время считают, что
любой мыслимый измерительный аппарат, как следствие несовершенства
человеческой способности наблюдать (которая позволяет прочесть указание
стрелки или же локализовать почернение фотографической пластинки лишь с
ограниченной точностью), может дать это значение лишь в пределах
некоторой, никогда не исчезающей, ошибки. Правда, пределы этой ошибки
удается за счет достаточного уточнения метода измерения сдвинуть сколь
угодно близко к 0, но точно нулем они никогда не будут. Можно ожидать,
что это будет так же и в квантовой теории для тех величин 91, которые,
согласно сложившимся для них (в особенности до открытия квантовой
механики) наглядным представлениям, не квантованы, например, для
декартовых координат электрона (которые могут принимать любое значение от
- оо до -|- оо и операторы которых имеют непрерывный спектр). С другой
стороны, для тех величин, которые (согласно нашему наглядному
представлению о них) "квантованы", верно обратное положение: поскольку
они способны принимать лишь дискретные значения, то достаточно наблюдать
их лишь с такой точностью, чтобы не возникало более сомнения, какое
именно из этих "квантованных" значений было наблюдено, - оно-то уж
наверняка будет абсолютно точным. Например, если мы знаем о водородном
