Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
порядка
_ . ф - A h h "
2 sin ¦7гР = -,т- - ¦ Но это - правильная мера для vj, следова-
Е Л ?
h и
тельно, снова vj.-• -, т. е. evj~/z.
Этот пример очень ясно раскрывает механизм принципа неопределенности:
чтобы точнее прицелиться, необходимы широкие глаза (большая апертура 'ср)
и очень коротковолновое излучение, т. е. очень неопределенные (и большие)
импульсы световых квантов, которые сталкиваются (эффект Комптона) с
наблюдаемым объектом Т в значительной степени неконтролируемым образом и
тем самым "размазывают" его импульс.
135) По поводу теории микроскопа см., например, Handbuch der Physik,
Berlin, 1927, Bd. 18, Кар. 2. G. В очень точных измерениях е, а значит и
А, очень мало, т. е. надо пользоваться f-лучами или еще более короткими
длинами волн. Обычная линза отказывает при таких условиях, и применимой
была бы только такая, молекулы которой не разрушались бы и не выбивались
из своих положений этими f-лучами. Поскольку существование таких молекул
и частиц не нарушает никаких известных законов природы, то их допустимо
использовать для целей мысленного эксперимента.
i1
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
iai
Рассмотрим еще противоположный процесс измерения: измерение скорости
(импульса). Сначала следует заметить, что естественным методом измерения
скорости частицы Т являются измерение ее положений для двух различных
моментов времени, скажем 0 и С и деление изменений координат на t. В этом
случае, однако, скорость в интервале времени 0, t должна быть постоянна;
если же она изменяется, то это изменение является мерой отклонения
вычисленной выше скорости от настоящей скорости (скажем, в момент времени
t), т. е. мерой неопределенности измерения. То же справедливо для
измерения импульса. Дальше, если измерения координаты сделаны с точностью
?, то это в действительности не влияет на точность измерения среднего
импульса, так как t можно выбрать произвольно большим. Тем не менее это
приведет к изменению импульса по-h
рядка - и, следовательно, к неопределенности в конечном значении импульса
порядка т;-. Итак, в любом случае получается erj - h.
Чего-нибудь нового, если только это вообще возможно, можно было бы ждать
поэтому только от таких измерений импульса, которые не связаны с
измерением положения. Такие измерения вполне возможны, и ими часто
пользуются в астрономии, они основаны на эффекте Допплера, и мы сейчас
рассмотрим этот эффект.
Как хорошо известно, эффект Допплера состоит в следующем. Свет,
излученный телом Т, движущимся со скоростью V, частоты v0 (измеренной на
движущемся теле), воспринимается покоящимся наблюдателем как свет
измененной частоты v, которую можно вычислить из соотношения = -
cos 6 (6-угол между направлением
Vq С
движения и направлением излучения. Правда, эта формула нереляти-
v
вистская, т. е. она верна лишь при малых но ее легко можно
было бы исправить). Поэтому определение скорости возможно, если v
наблюдается, a v0 известно, скажем, потому, что это определенная
спектральная линия известного элемента. Точнее, измеряется компонента
скорости в направлении наблюдения (направлении излучения г с (v - v0)
света) v cos 0 =-^-- или же соответствующая компонента импульса р' = р
cos 0 = mc- (т - масса тела Т). Дисперсия ч\ импульса р' зависит,
очевидно, от дисперсии Av частоты v, так что т]-. Импульс тела Т,
конечно, изменяется из-за того, что оно испускает квант света частоты v и
тем самым с импульсом
182 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
р=~, но неопределенность в этой величине пренебрежимо
тс Av .о,,.
мала по сравнению с ---1Л0).
Частоту v можно измерить каким угодно интерференционным методом. Но при
таком измерении абсолютно точное значение v получится, естественно, лишь
для чисто монохроматических цугов световых волн. Такой цуг волн имеет
форму asin^2ix^y-
(iq - координата, t - время, а - амплитуда, a - фаза, - это выражение
представляет любую компоненту напряженности электрического или магнитного
поля) и, значит, распространен по всему бесконечному пространству и
времени. Чтобы избежать этого, приходится заменить это выражение, которое
можно записать также и как
asin^2ixv^-| так как другим, отлич-
ным от нуля лишь в конечном интервале изменений своего аргумента. Если
световая волна имеет такую форму, то ее, как известно, надо подвергнуть
анализу Фурье
F(x)= J av sin (2tcvjc -(- av) dv.
Тогда интерференционная картина покажет все частоты v, для которых а^ф 0,
причем интервал частот v, v -f- войдет с относительной интенсивностью a?
dv. Дисперсия v, т. е. Av, должна быть вычислена из этого распределения.
Если рассматриваемый цуг волн имеет протяженность х по х, т. е.
соответственные протяженности по t и q составят х и сх, то,
как легко видеть, дисперсия частоты v будет - 137). Неопреде-
,, тс Av h Av
136) Утверждение: --- велико по сравнению с - означает, что v
тс2 f- , 9
мало по сравнению с -, или же Е-пч мало по сравнению с тс2, т. е.
энергия светового кванта L мала по сравнению с релятивистской массой
